Формула Бернулли

Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний» в каждом из которых может появиться или не появиться событие $A$. Вероятность наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и равна р. Вероятность появления события $A$ в n испытаниях ровно m раз (безразлично, в какой последовательности) находят по формуле Бернулли

$$P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m}.\; \;\;\; \;(1)$$

В этой формуле p - вероятность появления события $A$ в одном испытании; q=1-p - вероятность непоявления события $A$ в одном испытании; n - общее число производимых испытаний; m - число испытаний, в которых появится событие $A$; $P_{n}(m)$ - вероятность того, что событие $A$ появится ровно m раз в n испытаниях.
Задача №1. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность, имея 7 билетов, выиграть
а) по двум билетам;
б) по трем билетам?
Решение. Испытание состоит в проверке одного билета на выигрыш. В каждом испытании может наступить или не наступить событие $A$, которое заключается в получении выигрыша на билет. Общее число испытаний n=7. Испытания являются независимыми, так как наступление события $A$ в каждом предыдущем испытании не изменяет вероятности его наступления в последующем. Вероятность появления события $A$ в каждом из семи испытаний постоянна и равна p=1/7; вероятность непоявления события $A$ в каждом испытании равна q=1-p=1-1/7=6/7.
а) Обозначим событие:
$B$ - выигрыш по двум билетам из имеющихся семи. Число испытаний, в которых ожидается появление события $A$, равно m = 2.
Искомую вероятность $P(B)=P_{7}(2)$ найдем по формуле (1):

$$P_{7}(2)=C_{7}^{2}p^{2}q^{5}=\frac{7!}{2!5!}\left(\frac{1}{7} \right)^{2} \cdot \left(\frac{6}{7} \right)^{5}\approx 0,1983.$$

б) Обозначим событие:
$C$ - выигрыш по трем билетам из имеющихся семи.
Число испытаний, в которых ожидается появление события $A$, равно m=3.
Искомую вероятность $P(C)=P_{7}(3)$ найдем по формуле (1):

$$P_{7}(3)=C_{7}^{3}p^{3}q^{4}=\frac{7!}{3!4!}\left(\frac{1}{7} \right)^{3} \cdot \left(\frac{6}{7} \right)^{4}\approx 0,0551.$$