Решение задач на формулу Байеса. Часть 2

Задача №1. В откормочный комплекс поступают телята из трех хозяйств. Из первого хозяйства телят поступает в 2 раза больше, чем из второго, а из второго - в 3 раза больше, чем из третьего. Первое хозяйство поставляет 15% телят, имеющих живой вес более 300 кг. Второе и третье хозяйства поставляют соответственно 25% и 35% телят, живой вес которых превышает 300 кг. Наудачу отобранный теленок при поступлении в откормочный комплекс весит 320 кг. Какова вероятность того, что он поступил из третьего хозяйства?


Решение. Испытание состоит во взвешивании наудачу отобранного теленка из числа поступивших в откормочный комплекс.
Рассмотрим события:
B_{1} , B_{2} , B_{3} - отобран теленок, поступивший соответственно из 1-го, из 2-го, из 3-го хозяйства;
A - наудачу отобраний теленок имеет живой вес, превышающий 300 кг.
Найдем безусловные вероятности гипотез - событий B_{1} , B_{2} и B_{3} до проведения испытания. Приняв, что из 3-го хозяйства поступает х% телят, получим, что из 2-го и 3-го хозяйств поступает соответственно 3х% и 6х% телят. Общее количество телят, поступающих из этих трех хозяйств, составляет 100%. Таким образом, имеем: 10 х = 100, х = 10. Итак, число телят, поступающих из 1-го, 2-го и 3-го хозяйств составляет соответственно 60%, 30% и 10% от их общего количества. Учитывая это, найдем вероятности гипотез до проведения испытания:

P(B_{1})=0,6,\: P(B_{2})=0,3,\:  P(B_{3})=0,1.


Из 1-го хозяйства поступает 15% теяят, живой вес которых превзашает 300 кг, поэтому P_{B_{1}}(A)=0,15 . Аналогично найдем: P_{B_{2}}(A)=0,25 , P_{B_{3}}(A)=0,35 .
Событие A может произойти или вместе с событием B_{1} , или с событием B_{2} , или же с событием B_{3} .
Пусть событие A произошло. Переоценим вероятность третьей гипотезы - события B_{3} .
По формуле (1) при n = 3 найдем:

P_{A}(B_{3})=\frac{P(B_{3})P_{B_{3}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)}=


=\frac{0,1\cdot 0,35}{0,6\cdot 0,15+0,3\cdot 0,25+0,1\cdot 0,35}=0,175;

Задача №2. У пользователя имеются три дискеты для компьютера, изготовленные на фирмах K, L и М, по одной дискете от каждой из этих фирм, причем штампы фирм на дискетах отсутствуют. Две из имеющихся трех дискет оказались бракованными. Какова вероятность того, что бракованными являются дискеты фирм L и М, если брак в продукции фирмы К составляет 10%, а в продукции фирм L и М - соответственно 20% и 15%?
Решение. Обозначим событие: A - бракованными являются две дискеты.
Событие A может наступить только при условии появления одного из несовместных событий B_{i} (гипотез), составляющих полную группу. Рассмотрим гипотезы:
B_{1} - бракованными являются дискеты фирм К и L, а дискета фирмы М - годная;
B_{2} - бракованными являются дискеты фярм К и М, а дискета фирмы L - годная;
B_{3} - бракованными являются дискеты фирм L и М, а дискета фирмы К-годная;
B_{4} - бракованной является одна дискета;

B_{5} - все три дискеты - бракованные;
B_{6} - все три дискеты - годные.
Вероятности гипотез B_{4} , B_{5} , B_{6} вычислять не нужно, так как при этих гипотезах событие A невозможно, поэтому условные вероятности P_{B_{4}}(A)=P_{B_{5}}(A)=P_{B_{6}}(A)=0 и, следовательно, равны нулю и произведения P(B_{4})\cdot P_{B_{4}}(A) , P(B_{5})\cdot P_{B_{5}}(A) и P(B_{6})\cdot P_{B_{6}}(A) при любых значениях вероятностей гипотез B_{4} , B_{5} и B_{6} . Рассмотрим события:
C_{1} - бракованной является дискета фирмы К;
C_{2} - бракованной является дискета фирмы L;
C_{3} - бракованной является дискета фирмы М, а также противоположные им события:
\bar{C_{1}} , \bar{C_{2}} , \bar{C_{3}} - годной является дискета, соответственно, фирмы К, фирмы L, фирмы М.
Исходя из условия, получим: P(C_{1})=p_{1}=0,1;\; P(C_{2})=p_{2}=0,2;\; P(C_{3})=p_{3}=0,15 . Найдем: P(\bar{C_{1})}=q_{1}=1-p_{1}=0,9;\; P(\bar{C_{2})}=q_{2}=1-p_{2}=0,8;\; P(\bar{C_{3})}=q_{3}=1-p_{3}=0,85
Событие B_{1} состоит в совместном наступлении и события C_{1} и события C_{2} , и события \bar{C_{3}} . Это означает, что B_{1} представляет собой произведение указанных событий: B_{1}=C_{1}C_{2}\bar{C_{3}} . События C_{1} , C_{2} , \bar{C_{3}} - независимые. Вероятность события B_{1} найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:
P(B_{1})=p_{1}p_{2}q_{3}=0,1\cdot 0,2\cdot 0,85=0,017.
Аналогично получим:
P(B_{2})=p_{1}q_{2}p_{3}=0,1\cdot 0,8\cdot 0,15=0,012;
P(B_{3})=q_{1}p_{2}p_{3}=0,9\cdot 0,2\cdot 0,15=0,027.
Так как при осуществлении каждой из гипотез B_{1} , B_{2} и B_{3} событие A достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:

P_{B_{1}}(A)=P_{B_{2}}(A)=P_{B_{3}}(A)=1.


Вероятность того, что бракованными являются две дискеты, найдем по формуле полной вероятности (1) при n = 6:

P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)+P(B_{4})P_{B_{4}}(A)+


+P(B_{5})P_{B_{5}}(A)+P(B_{6})P_{B_{6}}(A)=0,17\cdot 1+0,012\cdot 1+0,027\cdot 1=0,056.


Искомую вероятность того, что бракованными являются дискеты фирм L и М, найдем по формуле Бейеса:

P_{A}(B_{3})=\frac{P(B_{3})P_{B_{3}}(A)}{P(A)}=\frac{0,027}{0,056}\approx 0,4821.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: