Решение задач на формулу Байеса. Часть 2

Задача №1. В откормочный комплекс поступают телята из трех хозяйств. Из первого хозяйства телят поступает в 2 раза больше, чем из второго, а из второго - в 3 раза больше, чем из третьего. Первое хозяйство поставляет 15% телят, имеющих живой вес более 300 кг. Второе и третье хозяйства поставляют соответственно 25% и 35% телят, живой вес которых превышает 300 кг. Наудачу отобранный теленок при поступлении в откормочный комплекс весит 320 кг. Какова вероятность того, что он поступил из третьего хозяйства?
Решение. Испытание состоит во взвешивании наудачу отобранного теленка из числа поступивших в откормочный комплекс.
Рассмотрим события:
$B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$ - отобран теленок, поступивший соответственно из 1-го, из 2-го, из 3-го хозяйства;
$A$ - наудачу отобраний теленок имеет живой вес, превышающий 300 кг.
Найдем безусловные вероятности гипотез - событий$B_{1}$, $B_{2}$ и $B_{3}$ до проведения испытания. Приняв, что из 3-го хозяйства поступает х% телят, получим, что из 2-го и 3-го хозяйств поступает соответственно 3х% и 6х% телят. Общее количество телят, поступающих из этих трех хозяйств, составляет 100%. Таким образом, имеем: 10 х = 100, х = 10. Итак, число телят, поступающих из 1-го, 2-го и 3-го хозяйств составляет соответственно 60%, 30% и 10% от их общего количества. Учитывая это, найдем вероятности гипотез до проведения испытания:

$$P(B_{1})=0,6,\: P(B_{2})=0,3,\: P(B_{3})=0,1.$$

Из 1-го хозяйства поступает 15% теяят, живой вес которых превзашает 300 кг, поэтому $P_{B_{1}}(A)=0,15$. Аналогично найдем: $P_{B_{2}}(A)=0,25$, $P_{B_{3}}(A)=0,35$.
Событие $A$ может произойти или вместе с событием $B_{1}$, или с событием $B_{2}$, или же с событием $B_{3}$.
Пусть событие $A$ произошло. Переоценим вероятность третьей гипотезы - события $B_{3}$.
По формуле (1) при n = 3 найдем:

$$P_{A}(B_{3})=\frac{P(B_{3})P_{B_{3}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)}=$$

$$=\frac{0,1\cdot 0,35}{0,6\cdot 0,15+0,3\cdot 0,25+0,1\cdot 0,35}=0,175;$$

Задача №2. У пользователя имеются три дискеты для компьютера, изготовленные на фирмах K, L и М, по одной дискете от каждой из этих фирм, причем штампы фирм на дискетах отсутствуют. Две из имеющихся трех дискет оказались бракованными. Какова вероятность того, что бракованными являются дискеты фирм L и М, если брак в продукции фирмы К составляет 10%, а в продукции фирм L и М - соответственно 20% и 15%?
Решение. Обозначим событие: $A$ - бракованными являются две дискеты.
Событие $A$ может наступить только при условии появления одного из несовместных событий $B_{i}$ (гипотез), составляющих полную группу. Рассмотрим гипотезы:
$B_{1}$ - бракованными являются дискеты фирм К и L, а дискета фирмы М - годная;
$B_{2}$ - бракованными являются дискеты фярм К и М, а дискета фирмы L - годная;
$B_{3}$ - бракованными являются дискеты фирм L и М, а дискета фирмы К-годная;
$B_{4}$ - бракованной является одна дискета;
$B_{5}$ - все три дискеты - бракованные;
$B_{6}$ - все три дискеты - годные.
Вероятности гипотез $B_{4}$, $B_{5}$, $B_{6}$ вычислять не нужно, так как при этих гипотезах событие $A$ невозможно, поэтому условные вероятности $P_{B_{4}}(A)=P_{B_{5}}(A)=P_{B_{6}}(A)=0$ и, следовательно, равны нулю и произведения $P(B_{4})\cdot P_{B_{4}}(A)$, $P(B_{5})\cdot P_{B_{5}}(A)$ и $P(B_{6})\cdot P_{B_{6}}(A)$ при любых значениях вероятностей гипотез $B_{4}$, $B_{5}$ и $B_{6}$. Рассмотрим события:
$C_{1}$ - бракованной является дискета фирмы К;
$C_{2}$ - бракованной является дискета фирмы L;
$C_{3}$ - бракованной является дискета фирмы М, а также противоположные им события:
$\bar{C_{1}}$, $\bar{C_{2}}$, $\bar{C_{3}}$ - годной является дискета, соответственно, фирмы К, фирмы L, фирмы М.
Исходя из условия, получим: $P(C_{1})=p_{1}=0,1;\; P(C_{2})=p_{2}=0,2;\; P(C_{3})=p_{3}=0,15$. Найдем: $P(\bar{C_{1})}=q_{1}=1-p_{1}=0,9;\; P(\bar{C_{2})}=q_{2}=1-p_{2}=0,8;\; P(\bar{C_{3})}=q_{3}=1-p_{3}=0,85$
Событие $B_{1}$ состоит в совместном наступлении и события $C_{1}$ и события $C_{2}$, и события $\bar{C_{3}}$. Это означает, что $B_{1}$ представляет собой произведение указанных событий: $B_{1}=C_{1}C_{2}\bar{C_{3}}$. События $C_{1}$, $C_{2}$, $\bar{C_{3}}$ - независимые. Вероятность события $B_{1}$ найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:
$P(B_{1})=p_{1}p_{2}q_{3}=0,1\cdot 0,2\cdot 0,85=0,017.$
Аналогично получим:
$P(B_{2})=p_{1}q_{2}p_{3}=0,1\cdot 0,8\cdot 0,15=0,012;$
$P(B_{3})=q_{1}p_{2}p_{3}=0,9\cdot 0,2\cdot 0,15=0,027.$
Так как при осуществлении каждой из гипотез $B_{1}$, $B_{2}$ и $B_{3}$ событие $A$ достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:

$$P_{B_{1}}(A)=P_{B_{2}}(A)=P_{B_{3}}(A)=1.$$

Вероятность того, что бракованными являются две дискеты, найдем по формуле полной вероятности (1) при n = 6:

$$P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)+P(B_{4})P_{B_{4}}(A)+$$

$$+P(B_{5})P_{B_{5}}(A)+P(B_{6})P_{B_{6}}(A)=0,17\cdot 1+0,012\cdot 1+0,027\cdot 1=0,056.$$

Искомую вероятность того, что бракованными являются дискеты фирм L и М, найдем по формуле Бейеса:

$$P_{A}(B_{3})=\frac{P(B_{3})P_{B_{3}}(A)}{P(A)}=\frac{0,027}{0,056}\approx 0,4821.$$