Решение задач на формулу Байеса. Часть 1

Задача №1. Имеется 10 оданаковых по виду урн, в 9-й из которых находятся по 2 черных и 2 белых шара, а в одной - 5 белых и 1 черный. Из наудачу выбранной урны извлечен шар. Извлеченный шар оказался белым. Чему равна вероятность того, что этот шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?
Решение. Имеется 2 группы урн с различным составом шаров; 9 из имеющихся урн относятся к первой группе, одна урна - ко второй группе. Испытание состоит в том, что из наудачу выбранной урны извлекается шар. Рассмотрим гипотезы:


B_{1} - выбрана урна первой группы;
B_{2} - выбрана урна второй группы и
событие A - извлечение белого шара.
Вероятности гипотез B_{1} и B_{2} равны: P(B_{1})=9/10=0,9,\: P(B_{2})=1/10=0,1. Гипотезы B_{1} и B_{2} составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей гипотез равна P(B_{1})+ P(B_{2})=0,9+0,1=1.
Событие A может произойти только или вместе с событием B_{1} , или с событием B_{2} . До проведения испытания условная вероятность события A , вычисленная при условии, что оно наступило вместе с событием B_{1} , равна P_{B_{1}}(A)=2/4=1/2 (так как в каждой из урн первой группы среди четырех имеющихся шаров находятся 2 белых шара). До проведения испытания условная вероятность события A , вычисленная при условии, что оно наступило вместе с событием B_{2} , равна P_{B_{2}}(A)=5/6 (так как в урне второй группы среди шести имеющихся шаров находятся 5 белых).
Пусть событие A произошло: извлеченный из некоторой урны шар - белый. Переоценим вероятность второй гипотезы. По формуле (1) получим

P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,1\cdot \frac{5}{6}}{0,1\cdot \frac{5}{6}+0,9\cdot \frac{1}{2}}=0,15625.

Задача №2. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, а со второго - 20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, а на втором - 5%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена на первом автомате или же она изготовлена на втором автомате?
Решение. Испытание состоит в проверке качества детали. Рассмотрим события:
B_{1} - проверена деталь, изготовленная на первом автомате;
B_{2} - проверена деталь, изготовленная на втором автомате;
A - проверенная деталь является бракованной.

Безусловные вероятности гипотез - событий B_{1} и B_{2} до проведения испытания равны: P(B_{1})=0,8,\: P(B_{2})=0,2. Гипотезы B_{1} и B_{2} составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей этих событий равна P(B_{1})+P(B_{2})=1 .
На первом автомате брак составляет 1%, поэтому P_{B_{1}}(A)=0,01 . На втором автомате брак составляет 5%, поэтому P_{B_{2}}(A)=0,05 .
Событие A может наступить или вместе с событием B_{1} , или с событием B_{2} .
Пусть событие A произошло. Переоценим вероятности гипотез. По формуле Бейеса найдем:

P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,8\cdot 0,01}{0,8\cdot 0,01+0,2\cdot 0,05}=\frac{4}{9};


P_{A}(B_{2})=\frac{P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}{P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)}=\frac{0,2\cdot 0,05}{0,8\cdot 0,01+0,2\cdot 0,05}=\frac{5}{9}.


Получено, что P_{A}(B_{2})>P_{A}(B_{1}) . Таким образом, более вероятно, что проверенная деталь, оказавшаяся бракованной, изготовлена на втором автомате.

Задача №3. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найта вероятность того, что его проверил второй товаровед.
Решение. Испытание состоит в проверке на стандартность одного изделия. Рассмотрим события:
B_{1} - изделие проверил первый товаровед;
B_{2} - изделие проверил второй товаровед;
A - ставдартное изделие при проверке признано стандартным.
Безусловные вдюятности гипотез - событий B_{1} и B_{2} до проведения испытания равны P(B_{1})=0,55,\: P(B_{2})=0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, т. е. условная вероятность события A , вычисленная при условии, что оно произошло вместе с событием B_{1} , равна P_{B_{1}}(A)=0,9 . Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным вторым товароведом, т. е. условная вероятность события A вычисленная при условии, что оно произошло вместе с событием B_{2} , равна P_{B_{2}}(A)=0,98 .
Известно, что событие A наступило. Переоценим верошность события . По формуле (1) при n = 2 найдем:

P_{A}(B_{2})=\frac{0,45\cdot 0,98}{0,55\cdot 0,9+0,45\cdot 0,98}\approx 0,4712.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: