Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод интервалов
Пусть требуется решить неравенство

(x-\alpha _{1})^{k_{1}}(x-\alpha _{2})^{k_{2}}...(x-\alpha _{n-1})^{k_{n-1}}(x-\alpha _{n})^{k_{n}}>0,


где k_{1},k_{2},...,k_{n-1},k_{n} - целые положительные числа;
\alpha _{1},\alpha _{2},..., \alpha _{n-1},\alpha _{n} — действительные числа, среди которых
нет равных и такие, что \alpha _{1}<\alpha _{2}<...<\alpha _{n-1}<\alpha _{n} . Неравенства подобного типа решают с применением обобщенного метода интервалов. В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена (x-\alpha )^{n} : точка x=\alpha делит числовую ось на две части причем если n=2k (n — четное), то выражение (x-\alpha )^{n} справа и слева от точки x=\alpha сохраняет положительный знак; если n=2k+1 (n — нечетное число), то выражение (x-\alpha )^{n} справа от точки x=\alpha положительно, а слева от точки x=\alpha отрицательно.
Для решения неравенства

(x-\alpha _{1})^{k_{1}}(x-\alpha _{2})^{k_{2}}...(x-\alpha _{n-1})^{k_{n-1}}(x-\alpha _{n})^{k_{n}}>0,


обобщенным методом интервалов на числовую ось наносим числа \alpha _{1},\alpha _{2},..., \alpha _{n-1},\alpha _{n} ; в промежутке справа от наибольшего из них ставим знак «плюс», а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередное число \alpha _{i} меняем знак, если k_{i} — нечетное число, и сохраняем знак, если k_{i} — четное число.
Замечание 1. Если встречаются выражения (\alpha _{i}-x)^{n} , то справа от наибольшего из \alpha _{i} не обязательно будет знак «+». В этом случае лучше всего определить знак левой части неравенства в каком-либо из интервалов, а затем поставить знаки в каждом из интервалов с учетом изложенных выше соображений.
Замечание 2. Приведенные выше рассуждения справедливы и для неравенств вида \varphi (x)<0,\varphi (x)\geq 0,\varphi (x)\leq 0 , где

\varphi (x)=\frac{(x-\alpha _{1})^{n_{1}}(x-\alpha _{2})^{n_{2}}...(x-\alpha _{k})^{n_{k}}}{(x-\beta _{1})^{m_{1}}(x-\beta _{2})^{m_{2}}...(x-\beta _{p})^{m_{p}}}.

Пример 1. Решить неравенство x^{2}(x-1)^{3}(x-2)^{5}<0. Решение. Отмечаем на числовой прямой точки x=0,x=1,x=2 (рис.1). Проводим через эти точки «кривую знаков» с учетом того, что слева и справа от точки x=0 будет один и тот же знак « + », так
как в выражении x^{2} показатель степени (число 2) есть число четное. В окрестности точек x=1 и x=2 знаки в соседних промежутках чередуются, так как в выражениях (x-1)^{3} и (x-2)^{5} показатели степеней (числа 3 и 5) нечетные.
obob_metod_002

Рис.1

Множество, дающее решение исходного неравенства, заштриховано на рис.1. Это интервал (1;2).

Ответ: x\in (1;2) .
Пример 2. Решить неравенство \frac{(x-6)^{2}(x-2)x}{(x+1)^{4}(x+5)}\geq 0.
Решение. Наносим на числовую прямую точки x=6, x=2, x=0, x=-1, x=-5 . Точки x=6, x=2, x=0 отмечаем темными кружками, а точки x=-1, x=-5 светлыми (рис.2). Проведя «кривую знаков» с учетом того, что в окрестности точек x=-1 и x=6 левая часть неравенства сохраняет знак (т. к. в выражениях (x-6)^{2},(x+1)^{4} показатели степеней есть четные числа), получаем решение x\in (-5;-1)\bigcup (-1;0]\bigcup [2;6]\bigcup [6;+\propto)=(-5;-1)\bigcup (-1;0]\bigcup [2;+\propto).
obob_metod_004

Рис.2

Это множество на рис.2 заштриховано.
Ответ: x\in (-5;-1)\bigcup (-1;0]\bigcup [2;+\propto).
Пример 3. Решить неравенство \frac{x^{6}(2x-11)(x-1)}{(x+4)^{7}(3x-9)^{8}}\leq 0.
Решение.
Наносим точки x=-4;0;1;3;\frac{11}{2} на числовую ось. С помощью «кривой знаков» получаем решение, заштрихованное на рис.3. Заметим, что точка x=0 входит в множество решений, т. к. при x=0 получаем 0\leq 0 .
obob_metod_006

Рис.3

Ответ: x\in (-\propto ;-4)\bigcup\left\{0 \right\}{0} \bigcup [1;3)\bigcup \left(3;\frac{11}{2} \right].
Пример 4. Решить неравенство (2-x)^{5}(x+1)^{3}(x-1)^{2}(x^{2}+2x+7)<0. Решение. Наносим точки x=2;-1;1 на числовую ось (поскольку дискриминант квадратного трехчлена x^{2}+2x+7 : D=2^{2}-4\cdot 1\cdot 7=-24<0, то x^{2}+2x+7>0 для всех x и, значит, парабола y=x^{2}+2x+7 не пересекает ось Ох). С помощью «кривой знаков» получаем решение, заштрихованное на рис.4.
obob_metod_008

Рис.4

Ответ: x\in (-\propto ;-1)\bigcup (2;+\propto).

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: