Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Например:
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число. Например,
выполнив деление «углом», получим:
Как уже отмечалось, при делении дробей (или натуральных чисел) может получиться бесконечная десятичная дробь. Например,
Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической. Примеры периодических дробей: 0,111..., 4,333..., 5,8777..., 9,0131313... . Последовательно повторяющаяся группа цифр (минимальная) после запятой в десятичной записи числа называется периодом. Так, 0,111... - период равен 1; 4,3333... - период равен 3; 5,8777... — период равен 7; 9,0131313... — период равен 13. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки: 0,111...=0,(1), 4,333...=4,(3), 5,8777...=5,8(7), 9,0131313...=9,0(13).
Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чисто периодической; если между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической. Так, например, 3,(41)=3,414141... — чистая периодическая дробь; 5,8(7) — смешанная периодическая дробь.
Любую обыкновенную дробь можно записать в виде либо конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической дроби.
Правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную: чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вы¬честь число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем; в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. Например:
Замечание. Переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную можно и другими способами, не пользуясь приведенным выше правилом. Например, обратим в обыкновенную дробь число 0,(36). Обозначим х = 0,(36) = 0,363636... . Умножив обе части последнего равенства на 100, получаем 100х = 36,3636... = 36, (36).
Отсюда 100x- х = 36,(36) -0,(36) = 36, 99х = 36,
Таким образом,
Обратим теперь 5,8(12) = 5,8121212... в обыкновенную (неправильную) дробь. Обозначим у = 5,8(12). Тогда 10y = 58,(12), 1000у = 5812,(12), 1000у - 10у = 5812,(12) - 58,(12) = 5754, 990у = 5754,
Окончательно ,
Переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную можно и с использованием формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Например,
Математика "с нуля". Урок 29. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную
Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби
