Решение иррациональных неравенств

Рассмотрим более сложные иррациональные неравенства.
Иррациональное неравенство \sqrt{f(x)}<g(x) равносильно системе неравенств, т. е. \sqrt{f(x)}<g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0,\\ g(x)>0,\\ \left ( \sqrt{f(x)} \right )^{2}<\left ( g(x) \right )^{2} \end{matrix}\right. Иррациональное неравенство \sqrt{f(x)}>g(x) равносильно совокупности двух систем неравенств,
т. е. \sqrt{f(x)}>g(x)\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0,\\ g(x)\geq 0,\\ \left ( \sqrt{f(x)} \right )^{2}>\left ( g(x) \right )^{2}; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0,\\ g(x)<0. \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.
Замечание. Если рассмотреть неравенства \sqrt{f(x)}\leq g(x) и \sqrt{f(x)}\geq g(x) , то эти неравенства эквивалентны приведенной выше системе неравенств и совокупности двух систем неравенств, в которых знаки строгих неравенств везде заменены на знаки нестрогих, кроме неравенства g(x)<0 , которое остается неизменным. Пример 1. Решить неравенство \sqrt{x+31}<x+1 .
Решение.
\sqrt{x+31}<x+1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+31\geq 0,\\ x+1>0,\\ \left ( \sqrt{x+31} \right )^{2}<\left ( x+1 \right )^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -31,\;\; (a)\\ x>-1,\; \; (b)\\ x+31<x^{2}+2x+1.(c) \end{matrix}\right. Неравенство (c) равносильно следующему:

x^{2}+x-30>0\Leftrightarrow (x+6)(x-5)>0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x<-6,\\ x>5. \end{matrix} \right.


Множества, полученные при решении неравенств (а), (b), (c), необходимо пересечь. Для этого, во избежание ошибок, лучше всего начертить три оси и нанести на каждую из осей полученные множества решений.
Полученные множества пересекаются при x>5 (рис.1).
irrac_ner_002

Рис.1

Ответ: x\in (5;\infty ) .
Пример 2. Решить неравенство \sqrt{5x-4}<x . Решение.

\sqrt{5x-4}<x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x-4\geq 0,\\ x>0,\\ \left ( \sqrt{5x-4} \right )^{2}<x^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{4}{5},\\ x>0,\\ 5x-4\leq x^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{4}{5},\; (a)\\ x>0,\; (b)\\ \left [ \begin{matrix} x<1,\\ x>4. \end{matrix} \right.(c) \end{matrix}\right.


irrac_ner_004

Рис.2

Пересекая множества, полученные при решении неравенств (а), (b), (c) (рис.2), получаем решение исходного неравенства: x\in \left [ \frac{4}{5};1 \right )\bigcup \left ( 4;+\infty \right ) .
Ответ: x\in \left [ \frac{4}{5};1 \right )\bigcup \left ( 4;+\infty \right ) .
Пример 3. Решить неравенство \sqrt{x+2}>x+\frac{1}{2} .
Решение.
irrac_ner_006
Решая неравенство (в), получаем

x^{2}<\frac{7}{4} \Leftrightarrow x^{2}<\left ( \frac{\sqrt{7}}{2} \right )^{2}\Leftrightarrow x^{2}-\left ( \frac{\sqrt{7}}{2} \right )^{2}<0\Leftrightarrow \left ( x-\frac{\sqrt{7}}{2} \right )\left ( x+\frac{\sqrt{7}}{2} \right )<0\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{7}}{2}<x<\frac{\sqrt{7}}{2}.

irrac_ner_008
Пересекая множества, полученные при решении неравенств (а), (б), (в) (рис.3), получаем -\frac{1}{2}\leq x <\frac{\sqrt{7}}{2}. Пересекая множества, полученные при решении неравенств (а) и (г) (рис.4), получаем -2\leq x <-\frac{1}{2}. Решение исходного неравенства есть объединение множеств:

\left [ -2;-\frac{1}{2} \right )\bigcup \left [ -\frac{1}{2};\frac{\sqrt{7}}{2} \right )=\left [ -2;\frac{\sqrt{7}}{2} \right ).

Ответ: x\in \left [ -2;\frac{\sqrt{7}}{2} \right ).
Пример 4. Решить неравенство \sqrt{x^{2}-4x}>x-3.
Решение.
\sqrt{x^{2}-4x}>x-3\Leftrightarrow
irrac_ner_010

\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x>\frac{9}{2},\\ x\leq 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow x\in \left (-\infty ;0 \right ]\bigcup \left ( \frac{9}{2};\infty \right ).


Ответ: x\in \left (-\infty ;0 \right ]\bigcup \left ( \frac{9}{2};\infty \right ).

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: