Решение типовых задач на арифметическую прогрессию. Часть 2

Пример 1. Найти арифметическую прогрессию, если сумма её $n$ первых членов $S_{n}=2n^{2}-3n$.
Решение.
$S_{1}=a_{1}=2\cdot 1^{2}-3\cdot 1=2-3=-1;$
$S_{2}=2\cdot 2^{2}-3\cdot 2=8-6=2;$
$S_{2}=a_{1}+a_{2}=2\Leftrightarrow a_{2}=2-a_{1}=2-(-1)=3.$
Отсюда $d=a_{2}-a_{1}=3-(-1)=4$.
Ответ: $a_{1}=-1;\: d=4.$
Пример 2. Найти десятый член арифметической прогрессии, если сумма ее $n$ первых членов $S_{n}=3n^{2}-2n.$
Решение.
$S_{10}=a_{1}+a_{2}+...+a_{9}+a_{10};\: S_{9}=a_{1}+a_{2}+...+a_{8}+a_{9}.$
Ясно, что
$a_{10}=S_{10}-S_{9}=3\cdot 10^{2}-2\cdot 10-(3\cdot 9^{2}-2\cdot 9)=3(10^{2}-9^{2})-2\cdot 10+2\cdot 9=3(100-81)-20+18=57-2=55.$
Ответ: {55}.
Пример 3. В арифметической прогрессии $(a_{n})$ $S_{19}=133.$ Найти $a_{10}$.
Решение.
$S_{19}=\frac{2a_{1}+(19-1)d}{2}\cdot 19=\frac{2a_{1}+18d}{2}\cdot 19=(a_{1}+9d)19=a_{10}\cdot 19\Leftrightarrow a_{10}=\frac{S_{19}}{19}=\frac{133}{19}=7.$
Ответ: {7}.
Пример 4. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1.
Решение.
Имеем $a_{1}=13;\: a_{2}=17;\: a_{3}=21;...;a_{n}=97.$
Найдем число $n$ членов этой прогрессии из формулы $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. Подставив $a_{n}=97,\: a_{1}=13,\: d=4$, получаем
$97=13+(n-1)4\Leftrightarrow 4(n-1)=97-13=84\Leftrightarrow n-1=\frac{84}{4}=21\Leftrightarrow n=1+21=22.$
Отсюда $S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n;\; S_{22}=\frac{13+97}{2}\cdot 22=110\cdot 11=1210.$
Ответ: {1210}.
Пример 5. Решить уравнение $(x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155.$
Решение.
Имеем $a_{1}=x+1,\: d=(x+4)-(x+1)=3,\; a_{n}=x+28$.
С другой стороны,
$a_{n}=a_{1}+(n-1)d \Leftrightarrow x+28=(x+1)+(n-1)3 \Leftrightarrow x+28-x-1=3(n-1) \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 27=3(n-1)\Leftrightarrow n-1=9\Leftrightarrow n=10.$
Тогда по условию $S_{10}=155.$ Отсюда
$155=\frac{(x+1)+(x+28)}{2}\cdot 10=(2x+29)\cdot 5\Leftrightarrow 2x+29=\frac{155}{5}=31\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1.$
Ответ: {1}.