Решение типовых задач на арифметическую прогрессию. Часть 1

Пример 1. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии (a_{n}) , если: a_{1}=12,\; d=3.
Решение.
a_{2}=a_{1}+d=12+3=15;\; a_{3}=a_{2}+d=15+3=18;
a_{4}=a_{3}+d=18+3=21;\; a_{5}=a_{4}+d=21+3=24.
Ответ: 12; 15; 18; 21; 24.
Пример 2. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии (a_{n}) , если a_{1}=-3,\; d=0,7.
Решение.


a_{11}=a_{1}+10d=-3+10\cdot 0,7=-3+7=4.
Ответ: {4}.
Пример 3. Найти семнадцатый член арифметической прогрессии (a_{n}) , если арифметическая прогрессия имеет вид 3; 7; 11; 15.
Решение.
Находим разность прогрессии:
d=7-3=4;\; a_{17}=a_{1}+16d=3+16\cdot 4=3+64=67.
Ответ: {67}
Пример 4. Последовательность (a_{n}) — арифметическая прогрессия.
Найти:
a) a_{1} , если a_{36}=26,\; d=0,7;
б) d , если a_{1}=-10,\; a_{15}=1,2
Решение.
а) a_{36}=a_{1}+35d\Leftrightarrow a_{1}=a_{36}-35d=26-35\cdot 0,7=26-24,5=1,5;
б) a_{15}=a_{1}+14d\Leftrightarrow d=\frac{a_{15}-a_{1}}{14}=\frac{1,2-(-10)}{14}=\frac{11,2}{14}=0,8.
Ответ: a) {1,5}; 6) {0,8}.
Пример 5. Разность арифметической прогрессии равна 3, а сумма первых ее шести членов равна 57. Найти a_{1} , a_{6} .
Решение.
d=3;\; S_{6}=57. Имеем
S_{6}=\frac{2a_{1}+(6-1)d}{2}\cdot 6=(2a_{1}+5d)\cdot 3\Leftrightarrow 57=(2a_{1}+5d)\cdot 3\Leftrightarrow
\Leftrightarrow 2a_{1}+5d=\frac{57}{3} \Leftrightarrow 2a_{1}+5d=19 \Leftrightarrow a_{1}=\frac{19-5d}{2}=\frac{19-5\cdot 3}{2}=\frac{19-15}{2}=2;
a_{6}=a_{1}+5d=2+5\cdot 3=17.
Ответ: a_{1}=2;\; a_{6}=17.
Пример 6. Найти первый член арифметической прогрессий и количество членов n , если d=-2,\; a_{n}=17,\; S_{n}=161.
Решение.
Подставив данные значения из условия примера в формулы

a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\; S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n


получаем систему уравнении

\left\{\begin{matrix} 17=a_{1}+(n-1)(-2)\\ 161=\frac{a_{1}+17}{2}\cdot n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}=15+2n,\\ 161=\frac{15+2n+17}{2}\cdot n. \end{matrix}\right.


Решая второе уравнение системы, получаем
161=(16+n)n\Leftrightarrow n^{2}+16n-161=0\Leftrightarrow n_{1}=7,\: n_{2}=-23 (это значение n не подходит, т. к. n\in N ).
Итак, n=7,\; a_{1}=15+2\cdot 7=29.
Ответ: a_{1}=29;\; n=7.
Пример 7. Найти арифметическую прогрессию (a_{n}) , если

\left\{\begin{matrix} 2a_{1}+a_{7}=36,\\ a_{2}\cdot a_{3}=60. \end{matrix}\right.


Решение. a_{7}=a_{1}+6d,\; a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d.
Подставив в исходную систему, получаем:

\left\{\begin{matrix} 2a_{1}+a_{1}+6d=36,\\ (a_{1}+d)(a_{1}+2d)=60 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a_{1}+6d=36,\\ (a_{1}+d)(a_{1}+2d)=60. \end{matrix}\right.


Из первого уравнения системы 3(a_{1}+2d)=36\Leftrightarrow a_{1}+2d=12.
Подставив это значение во второе уравнение системы, получаем

(a_{1}+d)\cdot 12=60\Leftrightarrow a_{1}+d=\frac{60}{12}=5.


Отсюда имеем равносильную исходной систему

\left\{\begin{matrix} a_{1}+2d=12,\\ a_{1}+d=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2d-d=12-5\Leftrightarrow d=7;\; a_{1}=5-d=5-7=-2.


Выпишем несколько первых членов: -2; 5; 12; 19.
Ответ: a_{1}=-2;\: d=7.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: