Арифметическая прогрессия (основные формулы)

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом. Обозначается арифметическая прогрессия обычно так: $(a_{n})$. $a_{n}$ называется $n$-м членом арифметической прогрессии.
Из определения арифметической прогрессии следует, что $a_{n+1}=a_{n}+d$. Число $d$ называется разностью прогрессии. Таким образом,
$d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=...=a_{n+1}-a_{n}=...$
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию $(a_{n})$, достаточно знать ее первый член $a_{1}$ и разность $d$. Если разность арифметической прогрессии — положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если разность есть отрицательное число, то убывающей. Если разность $d$ арифметической прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны между собой.
Характеристическое свойство (признак) арифметической прогрессии формулируется так: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов:

$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},\; n\in N,\; n\geq 2.$$

Из определения разности арифметической прогрессии следует, что $a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=...,$ т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
Формулы для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии имеют вид:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}\cdot n.$$