Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
Пример 1. Обратить периодическую дробь 0,454545...= 0,(45) в обыкновенную.
Решение. Представим исходную дробь в виде суммы:
$0,(45)=\frac{45}{100}+\frac{45}{10000}+\frac{45}{1000000}+...=$
$=\frac{45}{100}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{45}{100}\cdot \frac{100}{99}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$
(так как у нас есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $q=\frac{1}{100}$ ).
Ответ: $0,(45)=\frac{5}{11}.$
Пример 2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b_{n}$ $S=16$ , а сумма квадратов всех ее членов $\bar{S}=153,6$ . Найти четвертый член прогрессии.
Решение. Прогрессия, у которой каждый член есть квадрат $b_{n}$ , то есть $b_{1}^{2};b_{2}^{2};...;b_{n}^{2};...$ , имеет знаменатель $Q$ , который равен квадрату знаменателя заданной прогрессии $b_{n}$ так как

$Q=\frac{b_{n}^{2}}{b_{n-1}^{2}}=\left ( \frac{b_{n}}{b_{n-1}} \right )^{2}=q^{2}.$

Отсюда имеем систему уравнении

$\left\{\begin{matrix} S=16=\frac{b_{1}}{1-q},\\ \bar{S}=153,6=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}} \end{matrix}\right.$

Разделив второе уравнение системы на первое, возведенное в квадрат, получим

$\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}:\frac{b_{1}^{2}}{(1-q)^{2}}=\frac{153,6}{16^{2}}\Leftrightarrow \frac{b_{1}^{2}(1-q)}{(1-q^{2})b_{1}^{2}}=\frac{153,6}{16^{2}}\Leftrightarrow \frac{1-q}{1+q}=\frac{153,6}{256}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 256(1-q)=153,6(1+q)\Leftrightarrow q=\frac{102,4}{409,6}=\frac{1}{4}.$

Тогда

$b_{1}=16(1-q)=16\left ( 1-\frac{1}{4} \right )=12;\; b_{4}=b_{1}q^{3}=12\cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{3}=\frac{3}{16}.$
Ответ:

$b_{4}=\frac{3}{16}.$
Пример 3. В равносторонний треугольник со стороной вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих треугольников и сумму их площадей.
Решение.
Изобразим на рисунке несколько треугольников, удовлетворяющих условию задачи (рис.1).

Рис.1

$A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=A_{1}C_{1}=a$ . Так как $A_{2}B_{2},B_{2}C_{2},A_{2}C_{2}$ — средние линии, то их длины равны $\frac{a}{2}$ . Аналогично $A_{3}B_{3}=B_{3}C_{3}=A_{3}C_{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a}{4}.$ Таким образом, последовательность длин сторон вписанных треугольников образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию $a;\frac{a}{2};\frac{a}{4};\frac{a}{8};...;\frac{a}{2^{n-1}};...$ . Последовательность периметров будет получаться путем утроения, т. е. $3a;\frac{3a}{2};\frac{3a}{4};\frac{3a}{8};...;\frac{3a}{2^{n-1}};...$ . Знаменатель такой прогрессии $q=\frac{1}{2}$ а сумма периметров $P$ может быть вычислена по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $P=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$ . Площади полученных правильных треугольников также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию $S_{1},S_{2},S_{3},...,S_{n},...$ . поскольку

$S_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},\; S_{2}=\frac{\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},\;S_{3}=\frac{\left ( \frac{a}{4} \right )^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{16}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$