Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
Пример 1. Обратить периодическую дробь 0,454545...= 0,(45) в обыкновенную.
Решение. Представим исходную дробь в виде суммы:
0,(45)=\frac{45}{100}+\frac{45}{10000}+\frac{45}{1000000}+...=
=\frac{45}{100}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{45}{100}\cdot \frac{100}{99}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}
(так как у нас есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q=\frac{1}{100} ).


Ответ: 0,(45)=\frac{5}{11}.
Пример 2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии b_{n} S=16 , а сумма квадратов всех ее членов \bar{S}=153,6 . Найти четвертый член прогрессии.
Решение. Прогрессия, у которой каждый член есть квадрат b_{n} , то есть b_{1}^{2};b_{2}^{2};...;b_{n}^{2};... , имеет знаменатель Q , который равен квадрату знаменателя заданной прогрессии b_{n} так как

Q=\frac{b_{n}^{2}}{b_{n-1}^{2}}=\left ( \frac{b_{n}}{b_{n-1}} \right )^{2}=q^{2}.


Отсюда имеем систему уравнении

\left\{\begin{matrix} S=16=\frac{b_{1}}{1-q},\\ \bar{S}=153,6=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}} \end{matrix}\right.


Разделив второе уравнение системы на первое, возведенное в квадрат, получим

\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}:\frac{b_{1}^{2}}{(1-q)^{2}}=\frac{153,6}{16^{2}}\Leftrightarrow \frac{b_{1}^{2}(1-q)}{(1-q^{2})b_{1}^{2}}=\frac{153,6}{16^{2}}\Leftrightarrow \frac{1-q}{1+q}=\frac{153,6}{256}\Leftrightarrow


\Leftrightarrow 256(1-q)=153,6(1+q)\Leftrightarrow q=\frac{102,4}{409,6}=\frac{1}{4}.


Тогда b_{1}=16(1-q)=16\left ( 1-\frac{1}{4} \right )=12;\; b_{4}=b_{1}q^{3}=12\cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{3}=\frac{3}{16}.
Ответ: b_{4}=\frac{3}{16}.
Пример 3. В равносторонний треугольник со стороной вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих треугольников и сумму их площадей.
Решение.
Изобразим на рисунке несколько треугольников, удовлетворяющих условию задачи (рис.1).
ris_1

Рис.1

A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=A_{1}C_{1}=a . Так как A_{2}B_{2},B_{2}C_{2},A_{2}C_{2} — средние линии, то их длины равны \frac{a}{2} . Аналогично A_{3}B_{3}=B_{3}C_{3}=A_{3}C_{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a}{4}. Таким образом, последовательность длин сторон вписанных треугольников образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию a;\frac{a}{2};\frac{a}{4};\frac{a}{8};...;\frac{a}{2^{n-1}};... . Последовательность периметров будет получаться путем утроения, т. е. 3a;\frac{3a}{2};\frac{3a}{4};\frac{3a}{8};...;\frac{3a}{2^{n-1}};... . Знаменатель такой прогрессии q=\frac{1}{2} а сумма периметров P может быть вычислена по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: P=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a . Площади полученных правильных треугольников также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию S_{1},S_{2},S_{3},...,S_{n},... . поскольку

S_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},\; S_{2}=\frac{\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},\;S_{3}=\frac{\left ( \frac{a}{4} \right )^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{16}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}


и т. д. Знаменатель такой прогрессии q=\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{S_{3}}{S_{2}}=...=\frac{S_{n+1}}{S_{n}}=\frac{1}{4} .
Отсюда сумма площадей

S=\frac{S_{1}}{1-q}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}:\left ( 1-\frac{1}{4} \right )=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}.


Ответ: P=6a;\; S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: