Взаимно однозначное соответствие между множествами

Соответствие между множествами А и В называется взаимно однозначным, если каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, причем разным элементам множества А соответствуют разные элементы множества В и каждый элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А. Множества называют эквивалентными (или равномощными), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Конечные множества А и В эквивалентны тогда и только тогда, когда количество элементов в них одинаково.
Установление взаимно однозначного соответствия дает возможность сравнивать не только конечные множества, но и, что самое главное, множества с бесконечным числом элементов.
Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел.
Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Иначе можно сказать, что множество счетно, если все его элементы можно занумеровать всеми натуральными числами.
Пример 1. Множество натуральных чисел N = {1;2;3;...} эквивалентно множеству целых отрицательных чисел А = {-1;-2;-3;...}, причем взаимно однозначное соответствие устанавливается так: каждому числу n є N соответствует число -n є А.
Пример 2. Сопоставим числу n число 2n. Тогда получаем взаимно однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел.
Замечание. Для конечных множеств справедлива формула
m(АUВ) = m(А) + m(В)-m(А∩В), (1)
где m(A), m(В), m(АUВ), m(А∩В) — соответственно число эле¬ментов множеств А, В, АUВ, А∩В.
Пример 3. Экзамен по русскому языку сдавали 300 абитуриентов, оценки 2, 3, 4 получили 280 человек, а оценки 3, 4, 5 получили 200 человек. Сколько человек получили оценки 3 и 4?
Решение.
Введем следующие обозначения:
А — множество абитуриентов, получивших оценки 2, 3, 4;
В — множество абитуриентов, получивших оценки 3, 4, 5.
Тогда АUВ — множество всех абитуриентов; А∩В — множество абитуриентов, получивших оценки 3, 4.
m(А) =280, m(B)=200, m(AUB)=300.
m(А∩В) нужно найти.
Из формулы (1):
m(А∩В) = m(А) + m(В) - m(А∩В);
m( А∩В)=280+200-300=180.
Ответ: {180}.