Асимптоты. Практикум по математическому анализу. Урок 58

Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно приближается тонка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Кривая может приближаться к своей асимптоте теми же способами, как и переменная к своему пределу: оставаясь с одной стороны от асимптоты, как, например, в задаче 1 (1) или с разных сторон, бесчисленное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую, как, например, в задаче 1 (3).
Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:
а) если при х = а кривая y = f(x) имеет бесконечный разрыв, т. е. если при $x \to a-0$ или при $x \to a+0$ функция f(x) стремится к бесконечности (того или иного знака), то прямая х=a является ее вертикальной асимптотой;
б) невертикальные асимптоты кривой y = f(x), если они существуют, имеют уравнения вида y=kx+b, где параметры k и b определяются формулами

$\displaystyle k=\underset{x \to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ и $\displaystyle b=\underset{x \to \pm \infty }{\lim }\left [ f(x)-kx \right ]$

при одинаковом в обеих формулах поведении х, т. е. в обеих формулах $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$.
Задача 1. Найти асимптоты кривых:
1) $\displaystyle y=\frac{x^{2}-6x+3}{x-3}$ ; 2) $\displaystyle y=xe^{x}$; 3) $\displaystyle y=x+\frac{\sin x}{x}$ ; 4) $\displaystyle y=x\textrm{arcctg}\, x$; 5) $\displaystyle y=\ln (4-x^{2})$.
Решение.
1) (а) При х=3 данная кривая имеет бесконечный разрыв. Поэтому прямая х=3 есть ее вертикальная асимптота;
(б) далее ищем невертикальные асимптоты:

$\displaystyle k=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{x^{2}-6x+3}{x^{2}-3x}=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{1-\frac{6}{x}+\frac{3}{x^{2}}}{1-\frac{3}{x}}=1;$
$\displaystyle b=\underset{x \to + \infty }{\lim }\left [ f(x)-kx \right ]=\underset{x \to + \infty }{\lim }\left ( \frac{x^{2}-6x+3}{x-3}-x \right )=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{3-3x}{x-3}=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-3}{1-\frac{3}{x}}=-3.$

Подставляя найденные значения k и b в уравнение y=kx+b, получим уравнение невертикальной асимптоты: y=x-3. Других невертикальных асимптот кривая не имеет, так как при $x \to + \infty$ значения k и b будут те же самые. Кривая (гипербола) изображена на рис. 63.

Рис.63

2) (а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она всюду непрерывна;
(б) $\displaystyle k=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to + \infty }{\lim }e^{x}=+\infty,$
т. е. при $x \to + \infty$ угловой коэффициент асимптоты не существует, вследствие чего при $x \to + \infty$ кривая не имеет асимптоты;

$\displaystyle k=\underset{x \to - \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to - \infty }{\lim }e^{x}=0;$
$\displaystyle b=\underset{x \to - \infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x \to - \infty }{\lim }xe^{x}=\underset{x \to - \infty }{\lim }\frac{x}{e^{-x}}=\underset{x \to - \infty }{\lim }\frac{1}{-e^{-x}}=0.$

(Здесь применено правило Лопиталя.)
Следовательно, при $x \to - \infty$ кривая имеет невертикальную асимптоту y=0 (ось Ox).
3) (а) Кривая $\displaystyle y=x+\frac{\sin x}{x}$ не имеет бесконечных разрывов, поэтому не имеет и вертикальных асимптот;
(б) $\displaystyle k=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to + \infty }{\lim }\left ( 1+\frac{\sin x}{x^{2}} \right )=1,$ так как $\left | \sin x \right |\leq 1$ ;
$\displaystyle b=\underset{x \to + \infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$.
При $x \to - \infty$ параметры асимптоты имеют те же значения. Следовательно, при $x \to + \infty$ и при $x \to - \infty$ кривая имеет асимптоту у=х. Эта кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту, переходя с одной ее стороны на другую (рис. 64).

Способ приближения кривой к своей невертикальной асимптоте определяется путем исследования знака разности ординат кривой и асимптоты. Здесь эта разность $\displaystyle y_{kp}-y_{ac}=\frac{\sin x}{x}$ бесчисленное множество раз меняет свой знак в точках, где $x=k\pi ,\; k=\pm 1,\pm 2,...$.
4)(а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она всюду непрерывна;
(б) $x \displaystyle k=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to + \infty }{\lim }\textrm{arcctg}\, x=\textrm{arcctg}\, (+\infty )=0;$
$\displaystyle b=\underset{x \to + \infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x \to + \infty }{\lim }x\textrm{arcctg}\, x=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{\textrm{arcctg}\, x}{\frac{1}{x}}.$
Применяя правило Лопиталя дважды, получим
$\displaystyle b=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{\textrm{arcctg}\, x}{\frac{1}{x}}=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{-\frac{1}{1+x^{2}}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\underset{x \to + \infty }{\lim }\frac{2x}{2x}=1.$
Следовательно, при $x \to + \infty$ кривая имеет асимптоту у = 1:
$\displaystyle k=\underset{x \to - \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to - \infty }{\lim }\textrm{arcctg}\, x=\textrm{arcctg}\, (-\infty )=\pi$;
$\displaystyle b=\underset{x \to - \infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x \to - \infty }{\lim }(x\textrm{arcctg}\, x-\pi x)=\underset{x \to - \infty }{\lim }x(\textrm{arcctg}\, x-\pi )=\underset{x \to - \infty }{\lim }\frac{\textrm{arcctg}\, x-\pi}{\frac{1}{x}}=\underset{x \to - \infty }{\lim }\frac{-\frac{1}{1+x^{2}}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x \to - \infty }{\lim }\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1.$
Следовательно, при $x \to - \infty$ кривая имеет асимптоту $y=\pi x+1$ (рис. 65).

5) (а) Кривая имеет две вертикальные асимптоты х=-2 и x=2, так как при х=±2 она имеет бесконечные разрывы;
(б) невертикальных асимптот кривая не имеет, ибо ее областью расположения является интервал —2<х<2 и поэтому x не может стремиться к бесконечности (рис. 66).