Действия над векторами, заданными своими проекциями. Примеры решения задач

Примеры типовых задач по теме: "Действия над векторами, заданными своими проекциями"
Задача № 1. а) Определить точку В, которая является концом вектора $\vec{a}${ 4; —3; 1}, если его начало совпадает с точкой А (3; 1; —2).
б) Определить начало М вектора $\vec{b}${5; 8; 7}, если его конец совпадает с точкой N (—1; 3; 3).
Решение. а) Проекции вектора $\vec{a}$ равны

$$x=x_{B}-x_{A},\; y=y_{B}-y_{A},\; z=z_{B}-z_{A},$$

откуда

$$x_{B}=x_{A}+x,\; y_{B}=y_{A}+y,\; z_{B}=z_{A}+z.$$

или

$$x_{B}=3+4=7,\; y_{B}=1-3=-2,\; z_{B}=-2+1=-1;\; B\left(7;-2;-1 \right).$$

(рис.1)

б) $x=x_{N}-x_{M},\; y=y_{N}-y_{M},\; z=z_{N}-z_{M},$
или

$$x_{M}=x_{N}-x,\; y_{M}=y_{N}-y,\; z_{M}=z_{N}-z,$$

откуда

$$x_{M}=-1-5=-6,\; y_{M}=3-8=-5,\; z_{M}=3-7=-4;\; M\left(-6;-5;-4 \right).$$

Ответ: В (7; —2; —1); М (—6; —5; —4).
Задача № 2. Сила F приложена в точке А (5; —2; 2) и имеет проекции на оси координат Х=-3 кГ, У=5 кГ, Z = 4 кГ. Определить компоненты вектора F на осях и координаты конца вектора $\vec{AB}=\vec{F}.$ (рис.2).

Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 3. Вектор $\vec{a}$ составляет с координатными осями Оу и Oz углы $\beta =120^{\circ } ,\; \gamma =45^{\circ }$. Вычислить его координаты при условии, что $\left|\vec{a} \right|=6$.

Задача № 4. Проверить коллинеарность векторов $\vec{a}${2, —1, 3} и $\vec{b}${—6; 3; —9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну сторону или в противоположные стороны.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. Проверить, являются ли точки А (—1; 2; 3), В (2; — 1; 1), С (1; -3; -1) и D (-5; 3; 3) вершинами трапеции.
Задача № 6. Дан вектор $\vec{c}=4\vec{i}+7\vec{j}-4\vec{k}.$ Найдем вектор $\vec{d}$, параллельный вектору $\vec{c}$ и противоположного с ним направления, если $\left|\vec{d} \right|=27$.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео