Скалярное произведение векторов. Примеры решения задач

Решения типовых задач по теме: "Скалярное произведение векторов"
Задача № 1. Векторы \vec{a} и \vec{b} образуют угол \phi =\frac{2}{3}\pi . Зная,
что \left|\vec{a} \right|=11,\; \left|\vec{b} \right|=2 , вычислить:
1)\; (2\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b}).
2)\; (2\vec{a}-5\vec{b})^{2}.
Решение. Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, и скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, будем иметь:
1)\; (2\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=4\left|\vec{a} \right|^{2}-2\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi +6\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi-
-3\left|\vec{b} \right|^{2}=4\cdot 121-2\cdot 11\cdot 2\left(-\frac{1}{2} \right)+6\cdot 11\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)-3\cdot 4=484+22-66-12=506-78=428;
2)\; (2\vec{a}-5\vec{b})^{2}=4\left|\vec{a} \right|^{2}-20\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi +25\left|\vec{b} \right|^{2}=804.
Ответ: 1) 428; 2) 804.
Задача № 2. Определить, при каком значении \vec{a} векторы 3\vec{a}+\alpha \vec{b} и \vec{a}-2\vec{b} будут взаимно перпендикулярными, если \left|\vec{a} \right|=7\sqrt{2},\; \left|\vec{b} \right|=4,\; \hat{\vec{a}\vec{b}}=\frac{\pi }{4}.


Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 3. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.
Задача № 4. Зная одну из вершин треугольника А (1; —6; - 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами \vec{AB} {0; 3; 5} и \vec{BC} {4; 2; —1}, найти остальные вершины и сторону \vec{CA} .
Решение. Найдем координаты вершины В, исходя из формул, что проекции вектора равны:

x=x_{2}-x_{1},\; y=y_{2}-y_{1},\; z=z_{2}-z_{1}.


Откуда

x_{2}=x+x_{1},\; y_{2}=y+y_{1},\; z_{2}=z+z_{1}.


Таким образом,

x_{B}=0+1=1,\; y_{B}=3-6=-3,\; z_{B}=5-3=2;


В( 1; -3; 2).
Аналогично найдем координаты точки С:

x_{C}=4+1=5,\; y_{C}=2-3=-1,\; z_{C}=-1+2=1;


С(5; -1; 1).
Теперь найдем вектор \vec{CA} :

\vec{CA}=(1-5)\vec{i}+(-6+1)\vec{j}+(-3-1)\vec{k}=-4\vec{i}-5\vec{j}-4\vec{k}; \vec{CA}\left\{-4;-5;-4 \right\}.


Ответ: B(1; -3; 2), С(5; -1; 1), \vec{CA} {—4; -5; -4}.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. В плоскости yOz найти вектор \vec{M} , перпендикулярный вектору \vec{N} {12;-3;4} и имеющий одинаковую с ним длину.
Задача № 6. Вычислить, какую работу производит сила \vec{F} {6; - 2; 1}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(3;4;—2) в положение В (4;-2;-3).
Решение. Найдем проекции вектора \vec{AB} , по которому перемещается точка приложения силы \vec{F} , по фомулам

x=x_{2}-x_{1},\; y=y_{2}-y_{1},\; z=z_{2}-z_{1}.


т. е.

x=4-3=1,\; y=-2-4=-6,\; z=-3+2=-1.


Следовательно, имеем
\vec{S} = \vec{AB} {1;-6;-1}.
Так как работа численно равна скалярному произведению производящей ее силы на пройденный путь, то найдем скалярное произведение векторов \vec{F} и \vec{S} :

A=\vec{F}\cdot \vec{S}=\left(6\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} \right)\left(\vec{i}-6\vec{j}-\vec{k} \right)=6\cdot 1-2\cdot \left(-6 \right)+1\cdot \left(-1 \right)=6+12-1=17.


Ответ: А = 17 (единиц работы).
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 7. Дан треугольник с вершинами А (- 2; 3; 1), В (-2; -1; 4) и С (- 2; -4; 0). Определить его внутренний угол при вершине С.
Задача № 8. Даны три вектора \vec{a} { 1; —4; 8}, \vec{b} {4; 4: -2}, \vec{c} {2; 3; 6}.
Вычислить проекцию вектора \left(\vec{b}+\vec{c} \right) на вектор \vec{a} .
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: