Скалярное произведение векторов. Примеры решения задач

Решения типовых задач по теме: "Скалярное произведение векторов"
Задача № 1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ образуют угол $\phi =\frac{2}{3}\pi$. Зная,
что $\left|\vec{a} \right|=11,\; \left|\vec{b} \right|=2$, вычислить:
$1)\; (2\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b}).$
$2)\; (2\vec{a}-5\vec{b})^{2}.$
Решение. Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, и скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, будем иметь:
$1)\; (2\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=4\left|\vec{a} \right|^{2}-2\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi +6\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi-$
$-3\left|\vec{b} \right|^{2}=4\cdot 121-2\cdot 11\cdot 2\left(-\frac{1}{2} \right)+6\cdot 11\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)-3\cdot 4=484+22-66-12=506-78=428;$
$2)\; (2\vec{a}-5\vec{b})^{2}=4\left|\vec{a} \right|^{2}-20\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi +25\left|\vec{b} \right|^{2}=804.$
Ответ: 1) 428; 2) 804.
Задача № 2. Определить, при каком значении $\vec{a}$ векторы $3\vec{a}+\alpha \vec{b}$ и $\vec{a}-2\vec{b}$ будут взаимно перпендикулярными, если $\left|\vec{a} \right|=7\sqrt{2},\; \left|\vec{b} \right|=4,\; \hat{\vec{a}\vec{b}}=\frac{\pi }{4}.$
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 3. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.
Задача № 4. Зная одну из вершин треугольника А (1; —6; - 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами $\vec{AB}${0; 3; 5} и $\vec{BC}${4; 2; —1}, найти остальные вершины и сторону $\vec{CA}$.
Решение. Найдем координаты вершины В, исходя из формул, что проекции вектора равны:

$$x=x_{2}-x_{1},\; y=y_{2}-y_{1},\; z=z_{2}-z_{1}.$$

Откуда

$$x_{2}=x+x_{1},\; y_{2}=y+y_{1},\; z_{2}=z+z_{1}.$$

Таким образом,

$$x_{B}=0+1=1,\; y_{B}=3-6=-3,\; z_{B}=5-3=2;$$

В( 1; -3; 2).
Аналогично найдем координаты точки С:

$$x_{C}=4+1=5,\; y_{C}=2-3=-1,\; z_{C}=-1+2=1;$$

С(5; -1; 1).
Теперь найдем вектор $\vec{CA}$:

$$\vec{CA}=(1-5)\vec{i}+(-6+1)\vec{j}+(-3-1)\vec{k}=-4\vec{i}-5\vec{j}-4\vec{k}; \vec{CA}\left\{-4;-5;-4 \right\}.$$

Ответ: B(1; -3; 2), С(5; -1; 1), $\vec{CA}${—4; -5; -4}.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. В плоскости yOz найти вектор $\vec{M}$, перпендикулярный вектору $\vec{N}${12;-3;4} и имеющий одинаковую с ним длину.
Задача № 6. Вычислить, какую работу производит сила $\vec{F}${6; - 2; 1}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(3;4;—2) в положение В (4;-2;-3).
Решение. Найдем проекции вектора $\vec{AB}$, по которому перемещается точка приложения силы $\vec{F}$, по фомулам

$$x=x_{2}-x_{1},\; y=y_{2}-y_{1},\; z=z_{2}-z_{1}.$$

т. е.

$$x=4-3=1,\; y=-2-4=-6,\; z=-3+2=-1.$$

Следовательно, имеем
$\vec{S}$=$\vec{AB}${1;-6;-1}.
Так как работа численно равна скалярному произведению производящей ее силы на пройденный путь, то найдем скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $\vec{S}$:

$$A=\vec{F}\cdot \vec{S}=\left(6\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} \right)\left(\vec{i}-6\vec{j}-\vec{k} \right)=6\cdot 1-2\cdot \left(-6 \right)+1\cdot \left(-1 \right)=6+12-1=17.$$

Ответ: А = 17 (единиц работы).
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 7. Дан треугольник с вершинами А (- 2; 3; 1), В (-2; -1; 4) и С (- 2; -4; 0). Определить его внутренний угол при вершине С.
Задача № 8. Даны три вектора $\vec{a}${ 1; —4; 8}, $\vec{b}${4; 4: -2}, $\vec{c}${2; 3; 6}.
Вычислить проекцию вектора $\left(\vec{b}+\vec{c} \right)$ на вектор $\vec{a}$.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео