Векторное произведение векторов. Примеры решения задач

Решения типовых задач по теме: "Векторное произведение векторов"
Задача № 1. Даны модули векторов \vec{a} и \vec{b} , \left|\vec{a} \right|=8,\; \left|\vec{b} \right|=15 , и их скалярное произведение \vec{a}\vec{b}=96. Вычислить модуль векторного произведения \left|[\vec{a}\vec{b}] \right| .
Решение. Так как модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей данных векторов, умноженному на синус угла между векторами, то необходимо знать синус угла между векторами \vec{a} и \vec{b} .
Воспользуемся скалярным произведением данных векторов:

\vec{a}\vec{b}=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \hat{(\vec{a}\vec{b})},


откуда

\cos \hat{(\vec{a}\vec{b})}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{96}{8\cdot 15}=\frac{4}{5}.


Тогда

\sin \hat{(\vec{a}\vec{b})}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.


Следовательно,

\left|[\vec{a}\vec{b}] \right|=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\sin \hat{(\vec{a}\vec{b})}=8\cdot 15\cdot \frac{3}{5}=72.


Ответ: \left|[\vec{a}\vec{b}] \right|=72.
Задача № 2. Какому условию должны удовлетворять векторы \vec{a} и \vec{b} , чтобы векторы 3\vec{a}+\vec{b} и \vec{a}-3\vec{b} были коллинеарны?
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео


Задача № 3. Векторы \vec{a} , \vec{b} и \vec{c} удовлетворяют условию \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} . Доказать, что \left[\vec{a}\vec{b} \right]=\left[\vec{c} \vec{a}\right]=\left[\vec{b}\vec{c} \right] .
Задача № 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах \vec{AB}=6\vec{a}-3\vec{b} и \vec{AD}=3\vec{a}+2\vec{b} , если \left|\vec{a} \right|=3,\; \left|\vec{b} \right|=5 и \left(\hat{\vec{a}\vec{b}} \right)=\frac{\pi }{6}.
Указания. Площадь параллелограмма численно равна длине вектора, полученного в результате векторного умножения двух данных векторов, т. е.

S_{ABCD}=\left|\vec{AB}\times \vec{AD} \right|=\left|(6\vec{a}-3\vec{b})(3\vec{a}+2\vec{b}) \right|.


Ответ: S параллелограмма= 157,5 кв. ед.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. Зная стороны треугольника \vec{AB} ={-3; -2; 6} и \vec{BC} = {- 2; 4; 4}, вычислить длину высоты \vec{AD} .
Решение. I способ приведен в видеоуроке
II способ. Указания. Найти Пр _{\vec{BO}}\vec{BA} и затем по теореме Пифагора вычислить высоту \vec{AD} .
Ответ: AD=\frac{8}{3}\sqrt{5} ед. длины.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 6. Решить самостоятельно. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах: \vec{a} {6;0;2} и \vec{b} {1,5; 2; 1}.
Указания. Одна из диагоналей параллелограмма будет равна сумме векторов сторон, а другая — разности векторов сторон параллелограмма (рис.1).
vekt090

Рис.1

\vec{OC}=\vec{a}+\vec{b},\; \vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}.\; S=\left|\vec{a}\times \vec{b} \right|.


Ответ: длины диагоналей \frac{1}{2}\sqrt{277} и \frac{1}{2}\sqrt{101} , площадь параллелограмма 13 кв.ед.
Задача № 7. Зная, что векторы \vec{a}=\alpha \vec{i}+7\vec{j}+3\vec{k} и \vec{b}= \vec{i}+\beta \vec{j}+2\vec{k} коллинеарны, вычислить коэффициенты α и β.
Указания. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, \vec{a}\times \vec{b}=0 .
Ответ: \alpha =\frac{3}{2};\; \beta =\frac{14}{3}
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: