Смешанное и двойное векторное произведение векторов. Решение типовых задач

Решения типовых задач по теме: "Смешанное и двойное векторное произведение векторов"
Задача № 1. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
$\vec{M}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\; \vec{N}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c},\; \vec{P}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}.$
Решение. Так как векторное скалярное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на ребрах, то для решения данной задачи необходимо найти векторно-скалярное произведение векторов $\vec{M}$, $\vec{N}$ и $\vec{P}$. При этом будем пользоваться следующим правилом.
Круговая перестановка трех сомножителей векторно-скалярного произведения не меняет его величины. Перестановка двух соседних множителей меняет знак произведения.
Примем еще во внимание, что векторно-скалярное произведение равно 0, если векторы компланарны.
$V=\left(\vec{M}\vec{N}\vec{P} \right)=...=4\left(\vec{a}\vec{b}\vec{c} \right).$
Все выкладки изложены в следующем видео:

Ответ: $V=4\left(\vec{a}\vec{b}\vec{c} \right).$
Задача № 2. Определить, какой является тройка $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}$ (правой или левой), если:
1) $\vec{a}=\vec{i}+\vec{k},\; \vec{b}=\vec{j},\; \vec{c}=\vec{k};$
2) $\vec{a}=\vec{i}-\vec{j},\; \vec{b}=\vec{j},\; \vec{c}=\vec{i}+\vec{j};$
3) $\vec{a}=\vec{j}+\vec{k},\; \vec{b}=\vec{j}-\vec{k},\; \vec{c}=\vec{i}.$
Задача № 3. Доказать, что четыре точки A(3; 5; 1), В(2; 4; 7), С(1; 5; 3) и D(4; 4; 5) лежат в одной плоскости.
Решения задач 2 и 3 подробно изложено в следующем видео

Задача № 4. Дана пирамида с вершинами в точках А (1; 2; 3), В (-2; 4; 1), С (7; 6; 3) и D (4;-3; -1).
Найти:
а) длину ребер $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$;
б) площадь грани АВС;
в) угол между ребрами AD и АС;
г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной на грань ABC.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. Найти $\vec{a}\times \left(\vec{b}\times \vec{c} \right)-\left(\vec{m}\times \vec{n} \right)\times \vec{p},$
если $\vec{a}\left\{1;2;-2 \right\},\; \vec{b}\left\{-2;3;1 \right\},\; \vec{c}\left\{2;-2;2 \right\}$,
$\vec{m}\left\{-1;3;5 \right\},\; \vec{n}\left\{1;0;-2 \right\},\; \vec{p}\left\{3;-2;2 \right\}$.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео