Линейные операции над векторами. Примеры решения задач. Часть 2

Линейные операции над векторами. Примеры решения задач. Часть 2

Задача № 1.
Даны: \left|\vec{a} \right|=13,\; \left|\vec{b} \right|=19,\; \left|\vec{a}+\vec{b} \right|=24.\;
Вычислить \left|\vec{a}-\vec{b} \right|.\;.
Решение. Предположим, что нам даны векторы \vec{a} и \vec{b}. Найдем векторы \vec{a}+\vec{b} и \vec{a}-\vec{b}. Вектор \vec{a}+\vec{b} есть одна из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах \vec{a} и \vec{b}, вектор \vec{a}-\vec{b} — вторая его диагональ (рис.1).
vekt042

Рис.1

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

\left|\vec{a}+\vec{b} \right|^{2}+\left|\vec{a}-\vec{b} \right|^{2}=2\left|\vec{a} \right|^{2}+2\left|\vec{b} \right|^{2},


откуда

\left|\vec{a}-\vec{b} \right|^{2}=2\left|a \right|^{2}+2\left|b \right|^{2}-\left|\vec{a}+\vec{b} \right|^{2}=2\cdot 13^{2}+2\cdot 19^{2}-24^{2}=


=2\cdot 169+2\cdot 361-576=338+722-576=484;


\left|\vec{a}-\vec{b} \right|^{2}=484,\; \left|\vec{a}-\vec{b} \right|=22.


Ответ: \left|\vec{a}-\vec{b} \right|=22.
Задача № 2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы векторы, совпадающие с его ребрами:

\vec{AB}=\vec{m},\; \vec{AD}=\vec{n},\; \vec{AA_{1}}=\vec{p}.


Построить каждый из следующих векторов:
1) \vec{m}+\vec{n}+\vec{p}; 2) \vec{m}-\vec{n}+\frac{1}{3}\vec{p}; 3) \frac{1}{2}\vec{m}+\frac{3}{2}\vec{n}-\vec{p}.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

десять + двадцать =