Линейные операции над векторами. Примеры решения задач. Часть 2

Задача № 1.
Даны: $\left|\vec{a} \right|=13,\; \left|\vec{b} \right|=19,\; \left|\vec{a}+\vec{b} \right|=24.\;$
Вычислить $\left|\vec{a}-\vec{b} \right|.\;$.
Решение. Предположим, что нам даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдем векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$. Вектор $\vec{a}+\vec{b}$ есть одна из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, вектор $\vec{a}-\vec{b}$ — вторая его диагональ (рис.1).

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

$$\left|\vec{a}+\vec{b} \right|^{2}+\left|\vec{a}-\vec{b} \right|^{2}=2\left|\vec{a} \right|^{2}+2\left|\vec{b} \right|^{2},$$

откуда

$$\left|\vec{a}-\vec{b} \right|^{2}=2\left|a \right|^{2}+2\left|b \right|^{2}-\left|\vec{a}+\vec{b} \right|^{2}=2\cdot 13^{2}+2\cdot 19^{2}-24^{2}=$$

$$=2\cdot 169+2\cdot 361-576=338+722-576=484;$$

$$\left|\vec{a}-\vec{b} \right|^{2}=484,\; \left|\vec{a}-\vec{b} \right|=22.$$

Ответ: $\left|\vec{a}-\vec{b} \right|=22.$
Задача № 2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы векторы, совпадающие с его ребрами:

$$\vec{AB}=\vec{m},\; \vec{AD}=\vec{n},\; \vec{AA_{1}}=\vec{p}.$$

Построить каждый из следующих векторов:
1) $\vec{m}+\vec{n}+\vec{p}$; 2) $\vec{m}-\vec{n}+\frac{1}{3}\vec{p}$; 3) $\frac{1}{2}\vec{m}+\frac{3}{2}\vec{n}-\vec{p}.$
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео