Дифференциал функции (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 40

Пример 1. Вычислить приближенное значение:
1) $\sqrt[4]{17}$; 2) $arctg\, 0,98$; 3) $\sin 29^{\circ}$.
Решение. Если требуется вычислить $f(x_{1})$ и если проще вычислить $f(x_{0})$ и $f'(x_{0})$ , то при достаточно малой по абсолютному значению разности $x_{1}-x_{0}=dx$ можно заменить приращение функции ее дифференциалом $f(x_{1})-f(x_{0})\approx f'(x_{0})dx$ и отсюда найти приближенное значение искомой величины по формуле

$$f(x_{1})\approx f(x_{0})+f'(x_{0})dx\; \; \; \; \; \; (1)$$

1) Будем рассматривать $\sqrt[4]{17}$ как частное значение функции $f(x)=\sqrt[4]{x}$ при $x=17=x_{1}$. Пусть $x_{0}=16$, тогда $\displaystyle f(x_{0})=\sqrt[4]{16}=2,\: f'(x_{0})=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} \mid_{x=16}=\frac{1}{4\sqrt[4]{16^{3}}}=\frac{1}{32},$ $\displaystyle dx=x_{1}-x_{0}=1.$
Подставляя в формулу (1), получим
$\displaystyle \sqrt[4]{17}\approx f(x_{0})+f'(x_{0})dx=2+\frac{1}{32}\cdot 1=\frac{65}{32}\approx 2,031.$
2) Пусть $arctg \,0,98$ есть частное значение функции $y=\textrm{arctg}\, x$ при $x=0,98=x_{1}$. Пусть $x_{0}=1$, тогда $\displaystyle y(x_{0})=\frac{\pi }{4},\: y'(x_{0})=\frac{1}{1+x^{2}}\mid _{x=1}=\frac{1}{2},$
$\displaystyle dx=x_{1}-x_{0}=-0,02.$
Пользуясь формулой (1), найдем: $\displaystyle \textrm{arctg}\, 0,98\approx y(x_{0})+y'(x_{0})dx=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}(-0,02)\approx 0,7754.$
3) Полагая, что $\displaystyle \sin 29^{\circ}$ есть частное значение функции $\displaystyle y=\sin x$ при $\displaystyle x=\frac{\pi }{180}\cdot 29=x_{1}$ и что $\displaystyle x_{0}=\frac{\pi }{180}\cdot 30=\frac{\pi }{6}$ получим $\displaystyle y(x_{0})=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2};$ $\displaystyle y'(x_{0})=\cos x\mid _{x=\frac{\pi }{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2};$ $\displaystyle dx=x_{1}-x_{0}=\frac{29\pi }{180}-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{180};$

$$\displaystyle \sin 29^{\circ}\approx y(x_{0})+y'(x_{0})dx=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left ( -\frac{\pi }{180} \right )\approx 0,4848.$$