Двойное векторное произведение трех векторов

Двойным векторным или векторно-векторным произведением трех векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} называется выражение вида
(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} или \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}).
Для двойного векторного произведения (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} надо сначала умножить векторно два вектора \vec{a} и \vec{b} , а затем полученное произведение еще раз умножают векторно на третий вектор \vec{c} .
Двойное векторное произведение выражается формулами

(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=\vec{b}\left(\vec{a}\vec{c} \right)-\vec{a}\left(\vec{b}\vec{c} \right),


\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}\left(\vec{a} \vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a} \vec{b}\right)\; \; \left(1 \right)


Правило: Двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор в скобке, умноженный на скалярное произведение двух других.
Если векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} заданы своими проекциями

\vec{a}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}+z_{1}\vec{k},\; \vec{b}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}+z_{2}\vec{k},\;\vec{c}=x_{3}\vec{i}+y_{3}\vec{j}+z_{3}\vec{k},\;


то двойное векторное произведение \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) будет равно:

\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ \begin{vmatrix} y_{2} & z_{2}\\ y_{3}& z_{3} \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} z_{2} &x_{2} \\ z_{3}& x_{3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} x_{2} & y_{2}\\ x_{3}& y_{3} \end{vmatrix} \end{vmatrix}=


=(y_{1}(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-z_{1}(x_{3}z_{2}-x_{2}z_{3}))\vec{i}+


+(z_{1}(y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2})-x_{1}(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}))\vec{j}+


+(x_{1}(x_{3}z_{2}-x_{2}z_{3})-y_{1}(y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}))\vec{k}.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: