Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов

Векторно-скалярным (или смешанным) произведением трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ называется число, равное векторному произведению $\left[\vec{a}\vec{b} \right]$, умноженному скалярно на вектор $\vec{c}$, т. е. $\left[\vec{a}\vec{b} \right]\vec{c}$.
Векторно-скалярное произведение обозначается так:

$$\left[\vec{a}\vec{b} \right]\vec{c}=\left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)$$

.
Векторно-скалярное произведение $\left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)$ имеет простой геометрический смысл; оно есть число, выражающее объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, взятого со знаком плюс, если тройка $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис.1).

Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ образуют правую тройку, если они расположены, как указано на рисунке 2, и левую тройку, если они расположены, как указано на рисунке 3. Круговая перестановка трех множителей векторно-скалярного произведения не меняет его величины.

Перестановка двух соседних множителей меняет знак произведения:

$$\left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)=\left(\vec{b}\vec{c} \vec{a}\right)=\left(\vec{c}\vec{a} \vec{b}\right)=-\left(\vec{b}\vec{a} \vec{c}\right)=-\left(\vec{c}\vec{b} \vec{a}\right)=-\left(\vec{a}\vec{c} \vec{b}\right).$$

Векторно-скалярное произведение равно нулю, если векторы компланарны.
Следовательно, равенство $\left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)=0$ есть условие компланарности трех векторов. Если векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ заданы своими проекциями:

$$\vec{a}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}+z_{1}\vec{k},$$

$$\vec{b}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}+z_{2}\vec{k},$$

$$\vec{c}=x_{3}\vec{i}+y_{3}\vec{j}+z_{3}\vec{k},$$

то векторно-скалярное произведение равно:

$$\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c} \right)=\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}.\; \; \; \left(1 \right)$$

Отсюда, объем V параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, вычисляется по формуле:

$$V =\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}.\; \; \; \left(2 \right)$$

Условие, необходимое и достаточное для компланарности векторов, записывается так:

$$\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}=0.\; \; \; \left(3 \right)$$

Объем треугольной пирамиды равен $\frac{1}{6}$ абсолютной величины векторно-скалярного произведения, составленного из трех векторов - ребер, выходящих из одной вершины, т. е:

$$V=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2}& z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}=0.\; \; \; \left(4 \right)$$