Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ называется новый вектор $\vec{c}$, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ вокруг полученного вектора $\vec{c}$ представлялся происходящим против часовой стрелки, для правой системы координат, если смотреть с конца вектора $\vec{c}$.

Векторное произведение обозначается символом
$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$ или $\vec{c}=\left[\vec{a} \vec{b}\right].$
Из определения следует, что длина вектора $\vec{c}$ равна:

$$\vec{c}=\left|\vec{a} \times \vec{b} \right|=ab\sin \phi ,\; \; \; \left(1 \right)$$

т. е. произведению длин перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними, где φ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (параллельны).
Таким образом, условие коллинеарности векторов:

$$\left[\vec{a\vec{b}} \right]=0.\; \; \; \left(2 \right)$$

В частности,

$$\left[\vec{a\vec{a}} \right]=0.\; \; \; \left(3 \right)$$

Основные свойства векторного произведения:
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак:

$$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}.\; \; \; \left(4 \right)$$

2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя:

$$\lambda \left[\vec{a}\vec{b} \right]=\left[\lambda \vec{a}\: \vec{b} \right]=\left[\vec{a}\: \lambda \vec{b} \right],\; \; \; \left(5 \right)$$

т. е. чтобы умножить векторное произведение на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.
3. Векторное произведение подчиняется распределительному свойству:

$$\left[\left(\vec{a}+\vec{b} \right) \vec{c}\right]=\left[\vec{a}\vec{c} \right]+\left[\vec{b}\vec{c} \right].\; \; \; \left(6 \right)$$

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими проекциями

$$\vec{a}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}+z_{1}\vec{k},\; \; \vec{b}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}+z_{2}\vec{k},$$

то

$$\left[\vec{a}\vec{b} \right]=\left(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1} \right)\vec{i}+\left(z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1} \right)\vec{j}+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)\vec{k},\; \; \; \left(7 \right)$$

или

$$\left[\vec{a}\vec{b} \right]=\begin{vmatrix} y_{1} & z_{1}\\ y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} x_{1}&z_{1} \\ x_{2} & z_{2} \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{vmatrix}\vec{k}.\; \; \; \left(8 \right)$$

Эти три определителя получаются из таблицы (матрицы) проекций данных векторов

$$\begin{Vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{Vmatrix}$$

вычеркиванием по очереди 1-го, 2-го и 3-го столбцов.
Векторное произведение может быть записано в символической форме с помощью определителя третьего порядка:

$$\left[\vec{a}\vec{b} \right]=\begin{vmatrix} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2}&y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}.\; \; \; \left(9 \right)$$

Условия коллинеарности (параллельности) двух векторов заданных проекциями, получаются из равенства (3):

$$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}.$$

Площадь треугольника, построенного на двух заданных векторах, исходящих из одной точки, выражается

$$S=\frac{1}{2}\left|\left[\vec{a}\vec{b} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{vmatrix} y_{1} &z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}^{2}+\begin{vmatrix} x_{1} &z_{1} \\ x_{2} & z_{2} \end{vmatrix}^{2}+\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} \\ x_{2}& y_{2} \end{vmatrix}^{2}}\; \; \left(11 \right)$$

Угол между двумя векторами находится по формуле:

$$\sin \phi =\frac{\left|\left[\vec{a}\vec{b} \right] \right|}{ab}=\frac{\sqrt{\begin{vmatrix} y_{1} &z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}^{2}+\begin{vmatrix} x_{1} &z_{1} \\ x_{2} & z_{2} \end{vmatrix}^{2}+\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} \\ x_{2}& y_{2} \end{vmatrix}^{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} }\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}.\; \; \left(12 \right)$$