Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними (рис.1).
Скалярное произведение обозначается одним из трех способов

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{ab}=\vec{\left(ab \right)}.$$

Если угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначить через φ, то согласно определению имеем:
$\vec{a}\cdot \vec{b}=ab\cos \phi .\; \; \; \left(1 \right)$

Из формулы (1) следует, что скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно выразить также формулами:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\Pi p_{\vec{a}}\vec{b},\; \vec{a}\cdot \vec{b}=b\Pi p_{\vec{b}}\vec{a},\; \; \; \left(2 \right)$$

т. е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на направление первого.
Из формулы (1) следует также, что:
а) Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые векторы, то cкалярное произведение равно нулю только в том случае, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.
б) Если φ — острый угол, то $\vec{a}\vec{b}$>0.
в) Если φ — тупой угол, то $\vec{a}\vec{b}$<0. г) Скалярное произведение обладает свойством коммутативности (переместительности): $\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}$. д) Скалярное произведение обладает свойством распределительности

$$\left(\vec{a}+\vec{b} \right)\cdot \vec{c}=\vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}.$$

е) Скалярное произведение обладает свойством (асоциативности) сочетательности относительно числового множителя:

$$\left(\vec{a}\vec{b} \right) \lambda =\vec{a}\left(\vec{b} \lambda \right)$$

Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями.
Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими проекциями:

$$\vec{a}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}+z_{1}\vec{k},\; \vec{b}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}+z_{2}\vec{k},$$

то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных проекций:

$$\vec{a}\vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$$

При $\vec{b}=\vec{a}$ имеем

$$\vec{a^{2}}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}.\; \; \; \left(3 \right)$$

С другой стороны

$$\vec{a^{2}}=aa\cos 0=a^{2}.$$

Тогда

$$a=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}},\; \; \; \left(4 \right)$$

т. е. длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его проекций.
Угол между двумя векторами. Из формулы (1) следует:

$$\cos \phi =\frac{\vec{a\vec{b}}}{ab},\; \; \; \left(5 \right)$$

или в координатной форме:

$$\cos \phi =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}},\; \; \; \left(6 \right)$$

т. е. косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение их длин.
Направляющие косинусы вектора $\vec{a}$ с осями координат выражаются так:

$$\cos \alpha =\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},\; \cos \beta =\frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},\; \cos \gamma =\frac{z_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}.\; \; \; \left(7 \right)$$