Проекции вектора

1. Проекции вектора. Проекцией вектора \vec{AB} на ось \vec{l} называется число, равное длине отрезка A_{1}B_{1} взятое со знаком плюс, если направление отрезка A_{1}B_{1} совпадает с направлением оси \vec{l} , и со знаком минус, если эти направления противоположны (рис.1).
vekt018

Рис. 1

Проекция вектора \vec{AB}=\vec{a} на ось \vec{l} обозначается формулой
\Pi p_{\vec{l}}\vec{AB} или \Pi p_{\vec{l}}\vec{a}.
Проекция вектора \vec{AB} на ось \vec{l} выражается формулой

\Pi p_{\vec{l}}\vec{AB}=AB\cos \phi

или \Pi p_{\vec{l}}\vec{a}=a\cos \phi ,
где АВ = а — модуль вектора \vec{AB}=\vec{a} , φ — угол наклона вектора к оси \vec{l} .
Проекция суммы векторов на ось \vec{l} равна сумме их проекций на ту же ось:

\Pi p_{\vec{l}}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\Pi p_{\vec{l}}\vec{a}+\Pi p_{\vec{l}}\vec{b}+\Pi p_{\vec{l}}\vec{c}.


При умножении вектора на скаляр его проекция умножается на этот скаляр:

\Pi p_{\vec{l}}n\vec{a}=n\Pi p_{\vec{l}}\vec{a}.


Рассмотрим прямоугольную систему координат и произвольный вектор \vec{OM} (рис.2).
Очевидно, будем иметь:

\vec{OM}=\vec{OM_{1}}+\vec{OM_{2}}+\vec{OM_{3}},
или иначе.

\vec{M}=\vec{M_{1}}+\vec{M_{2}}+\vec{M_{3}},\; \; \; \left(1 \right)


vekt016

Рис. 2

где

\vec{OM}=\vec{M},\; \vec{OM_{1}}=\vec{M_{1}},\; \vec{OM_{2}}=\vec{M_{2}},\; \vec{OM_{3}}=\vec{M_{3}}.


Равенство (1) показывает, что всякий вектор можно разложить на три слагаемых вектора, лежащик на осях координат. Слагаемые векторы \vec{M_{1}} , \vec{M_{2}} и \vec{M_{3}} называются составляющими вектора \vec{M} относительно системы осей координат Oxyz или его компонентами.
От точки О в положительном направлении каждой оси координат откладываем вектор, длина которого равна 1. Эти векторы называются единичными векторами или ортами и обозначаются соответственно через \vec{i} , \vec{j} и \vec{k} (рис.3).
vekt020

Рис. 3

Возвращаясь к равенству (1), заметим, что вектор \vec{M_{1}} как и вектор \vec{i} , расположены на оси_абсцисс, а потому имеем \vec{M_{1}}=x\vec{i} , где х есть длина вектора \vec{M_{1}} , взятая со знаком плюс, если направления векторов \vec{M_{1}} и \vec{i} совпадают, и со знаком минус, если направления их противоположны. Другими словами, х есть число, являющееся проекцией вектора \vec{M} на ось абсцисс.
Аналогично получим: \vec{M_{2}}=y\vec{j} и \vec{M_{3}}=z\vec{k} , где у и z — проекции вектора \vec{M} соответственно на оси ординат и аппликат.
Тогда равенство (1) перепишется так:

\vec{M}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\; \; \; (2)


Равенство (2) дает разложение вектора по основным единичным векторам или по ортам \vec{i} , \vec{j} и \vec{k} .
Вместо полной записи \vec{M}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} часто пользуются сокращенной \vec{M}=\left\{x,y,z \right\} или \vec{M}\left\{x,y,z \right\} .
Здесь х, у, z обозначают проекции вектора \vec{M} , или координаты точки М, являющейся концом радиуса-вектора \vec{M} .
Длина вектора \vec{OM} определяется по формуле:

OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\; \; \; \left(3 \right)


Если даны две точки A\left(x_{1},y_{1},z_{1} \right) и B\left(x_{2},y_{2},z_{2} \right) , являющиеся соответственно началом и концом вектора \vec{a}=\vec{AB} , то его проекции на оси координат соответственно равны:

x=x_{2}-x_{1},\; y=y_{2}-y_{1},\; z=z_{2}-z_{1},


а сам вектор в этом случае может быть записан в виде:

\vec{a}=\vec{AB}=\left(x_{2}-x_{1} \right)\vec{i}+\left(y_{2}-y_{1} \right)\vec{j}+\left(z_{2}-z_{1} \right)\vec{k}.\;


Его длина определяется по формуле:

a=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1} \right)^{2}}.\; \; \; \left(4 \right)


Обозначив через α, β и γ углы вектора \vec{a} с осями координат, получим:

\cos \alpha =\frac{x_{2}-x_{1}}{a},\; \cos \beta =\frac{y_{2}-y_{1}}{a},\; \cos \gamma =\frac{z_{2}-z_{1}}{a},\; \; \; \left(5 \right)


\cos \alpha ,\; \cos \beta ,\; \cos \gamma называются направляющими косинусами вектора \vec{a} .
Из формул (4) и (5) следует:

\cos \alpha =\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},


\cos \beta =\frac{y_{2}-y_{1}}{\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},\;\;\;(6)


\cos \gamma  =\frac{z_{2}-z_{1}}{\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.


2. Действия над векторами, заданными своими проекциями.
а) При сложении векторов одноименные их проекции складываются. Если даны векторы

\vec{a}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}+z_{1}\vec{k},\; \vec{b}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}+z_{2}\vec{k}


то

\vec{a}+\vec{b}=\left(x_{1}+x_{2} \right)\vec{i}+\left(y_{1}+y_{2} \right)\vec{j}+\left(z_{1}+z_{2} \right)\vec{k}.


б) При вычитании векторов одноименные их проекции вычитаются:

\vec{a}-\vec{b}=\left(x_{1}-x_{2} \right)\vec{i}+\left(y_{1}-y_{2} \right)\vec{j}+\left(z_{1}-z_{2} \right)\vec{k}.


в) При умножении вектора на скаляр проекции вектора умножаются на этот скаляр:

\vec{a}\lambda =\lambda x_{1}\vec{i}+\lambda y_{1}\vec{j}+\lambda z_{1}\vec{k}


Равенство (2) устанавливает связь между геометрической и алгебраической частями теории векторов.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: