Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

1. Сложение векторов. Векторы складываются геометрически по правилу параллелограмма или многоугольника.
Правило параллелограмма. Суммой двух векторов \large \vec{a} и \large \vec{b} называют такой третий вектор \large \vec{c} , выходящий из их общего начала, который служит диагональю параллелограмма, сторонами которого являются сами векторы (рис.1) и обозначают так: \large \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} .
vekt008

Рис.1

Правило многоугольника. Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого слагаемого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, представляет собой искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего.


vekt004
vekt006

Рис.2

Например, сумма векторов \large \vec{a} , \large \vec{b} , \large \vec{c} и d получается так (рис.2). Строим векторы

\vec{OA}=\vec{a},\; \vec{AB}=\vec{b},\;\vec{BC}=\vec{c},\;\vec{CD}=\vec{d}.\;


Тогда вектор суммы

\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AB}+ \vec{BC}+\vec{CD}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}.\;


Два вектора \vec{OA} и \vec{OA_{1}} , имеющие равные длины, но противоположные направления, называются противоположными векторами (рис.3).
vekt010

Рис.3

Если вектор \vec{OA_{1}} , противоположен вектору \vec{OA} , то можно записать:

\vec{OA_{1}} =- \vec{OA}

.
Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору:

\vec{OA}+\vec{OA_{1}} = \vec{OA}+\left ( - \vec{OA}\right )=\vec{0}.


Сумма векторов удостоверяет:
а) закону переместительности:

\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a};


б) закону сочетательности:

\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}.


2. Вычитание векторов. Вычитание двух векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух векторов \large \vec{a} и \large \vec{b} называется такой третий вектор \large \vec{c} , который нужно сложить с вектором \large \vec{b} , чтобы получить вектор \large \vec{a} , т. е. \large \vec{a}-\vec{b}=\vec{c} , если \large \vec{c}+\vec{b}=\vec{a} .
Чтобы из вектора \large \vec{a} вычесть вектор \large \vec{b} , нужно отнести их к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора-вычитаемого \large \vec{b} конечную точку вектора-уменьшаемого \large \vec{a} (рис.4).
vekt012

Рис.4

\vec{a}-\vec{b}=\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}=\vec{c}.


То же действие вычитания двух векторов можно произвести иначе.
Чтобы вычесть из вектора \large \vec{a} вектор \large \vec{b} , надо прибавить к вектору \large \vec{a} равный и противоположно направленный вектору \large \vec{b} вектор (- \large \vec{b} ).
Построим вектор \vec{AC_{1}} , длина которого равна длине вектора \vec{AC} , а направление его противоположно направлению вектора \vec{AC} .
Кроме того, дополним треугольник ABC до параллелограмма АСВВ₁.
Очевидно \vec{BB_{1}} равно \vec{CA} . Следовательно, \vec{BB_{1}}=\vec{AB_{1}} (рис.4).
Искомая разность

\vec{a}-\vec{b}=\vec{CB}=\vec{AB_{1}}.


Мы получим следующее равенство:

\vec{AB_{1}}=\vec{AB}+\vec{BB_{1}}=\vec{AB}+\vec{AC_{1}}=\vec{a}+(-\vec{b}).


3. Умножение вектора на скаляр. При умножении вектора \large \vec{a} на скаляр n получим вектор \large \vec{b} , коллинеарный с вектором \large \vec{a} и имеющий длину в n раз больше, чем \large \left|\vec{a} \right| . Этот новый вектор \large \vec{b}
имеет одинаковое направление с вектором \vec{CA} , если n>0, и противоположное с ним направление, если n<0 (рис.5). vekt014

Рис.5

Если обозначить одноименной буквой с нуликом вверху \vec{a^{0}} вектор длины, равной 1, и того же направления, что и вектор \vec{a} , то из определения умножения вектора на скаляр следует

\vec{a}=\vec{a^{0}}a


Единичный вектор \vec{a^{0}} направления вектора \vec{a} называется его ортом.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: