Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

1. Сложение векторов. Векторы складываются геометрически по правилу параллелограмма или многоугольника.
Правило параллелограмма. Суммой двух векторов $\large \vec{a}$ и $\large \vec{b}$ называют такой третий вектор $\large \vec{c}$, выходящий из их общего начала, который служит диагональю параллелограмма, сторонами которого являются сами векторы (рис.1) и обозначают так: $\large \vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$.

Правило многоугольника. Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого слагаемого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, представляет собой искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего.

Например, сумма векторов $\large \vec{a}$, $\large \vec{b}$, $\large \vec{c}$ и d получается так (рис.2). Строим векторы

$$\vec{OA}=\vec{a},\; \vec{AB}=\vec{b},\;\vec{BC}=\vec{c},\;\vec{CD}=\vec{d}.\;$$

Тогда вектор суммы

$$\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AB}+ \vec{BC}+\vec{CD}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}.\;$$

Два вектора $\vec{OA}$ и $\vec{OA_{1}}$, имеющие равные длины, но противоположные направления, называются противоположными векторами (рис.3).

Если вектор $\vec{OA_{1}}$, противоположен вектору $\vec{OA}$, то можно записать:

$$\vec{OA_{1}} =- \vec{OA}$$

.
Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору:

$$\vec{OA}+\vec{OA_{1}} = \vec{OA}+\left ( - \vec{OA}\right )=\vec{0}.$$

Сумма векторов удостоверяет:
а) закону переместительности:

$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a};$$

б) закону сочетательности:

$$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}.$$

2. Вычитание векторов. Вычитание двух векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух векторов $\large \vec{a}$ и $\large \vec{b}$ называется такой третий вектор $\large \vec{c}$, который нужно сложить с вектором $\large \vec{b}$, чтобы получить вектор $\large \vec{a}$, т. е. $\large \vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$, если $\large \vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$.
Чтобы из вектора $\large \vec{a}$ вычесть вектор $\large \vec{b}$, нужно отнести их к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора-вычитаемого $\large \vec{b}$ конечную точку вектора-уменьшаемого $\large \vec{a}$ (рис.4).

$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}=\vec{c}.$$

То же действие вычитания двух векторов можно произвести иначе.
Чтобы вычесть из вектора $\large \vec{a}$ вектор $\large \vec{b}$, надо прибавить к вектору $\large \vec{a}$ равный и противоположно направленный вектору $\large \vec{b}$ вектор (- $\large \vec{b}$).
Построим вектор $\vec{AC_{1}}$, длина которого равна длине вектора $\vec{AC}$, а направление его противоположно направлению вектора $\vec{AC}$.
Кроме того, дополним треугольник ABC до параллелограмма АСВВ₁.
Очевидно $\vec{BB_{1}}$ равно $\vec{CA}$. Следовательно, $\vec{BB_{1}}=\vec{AB_{1}}$ (рис.4).
Искомая разность

$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{CB}=\vec{AB_{1}}.$$

Мы получим следующее равенство:

$$\vec{AB_{1}}=\vec{AB}+\vec{BB_{1}}=\vec{AB}+\vec{AC_{1}}=\vec{a}+(-\vec{b}).$$

3. Умножение вектора на скаляр. При умножении вектора $\large \vec{a}$ на скаляр n получим вектор $\large \vec{b}$, коллинеарный с вектором $\large \vec{a}$ и имеющий длину в n раз больше, чем $\large \left|\vec{a} \right|$. Этот новый вектор $\large \vec{b}$
имеет одинаковое направление с вектором $\vec{CA}$, если n>0, и противоположное с ним направление, если n<0 (рис.5).

Если обозначить одноименной буквой с нуликом вверху $\vec{a^{0}}$ вектор длины, равной 1, и того же направления, что и вектор $\vec{a}$, то из определения умножения вектора на скаляр следует

$$\vec{a}=\vec{a^{0}}a$$

Единичный вектор $\vec{a^{0}}$ направления вектора $\vec{a}$ называется его ортом.