Объем тела по площадям его параллельных сечений. Практикум по математическому анализу. Урок 85

Если известна площадь $S(x)$ любого сечения тела плоскостью, параллельной некоторой плоскости $P$, где $x$ —расстояние сечения от плоскости $P$, рис.1, то при изменении $x$ на величину $dx$ дифференциал объема тела равен объему прямого цилиндра с высотой $dx$ и площадью основания $S(x)$, т. е. $dv=S(x)dx$, а объем всего тела выражается интегралом

$$\displaystyle V=\int_{a}^{b}S(x)dx,\; \; \; \; (*)$$

Рис. 1

где $a$ и $b$ — левая и правая границы изменения $x$.
Задача 1. Найти объем части цилиндра, отсеченной плоскостью, которая проходит через диаметр $2R$ его основания под углом $\alpha$ к плоскости основания.
Решение. Изобразив половину данного тела, рис. 2, замечаем, что всякое сечение его плоскостью, параллельной плоскости $ABC$, представляет прямоугольный треугольник.

Рис. 2

Найдем площадь сечения, отстоящего от точки $O$ на расстоянии $OP=x$. Из прямоугольного треугольника $AMP$ имеем $MP^{2}=R^{2}-(R-x)^{2}$. Из прямоугольного треугольника $PNM$ имеем $MN=MP\, \textrm{tg}\, \alpha$.
Площадь сечения $S(x)$, как прямоугольного треугольника с катетами $MP$ и $MN$:

$$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}MP\cdot MN=\frac{1}{2}MP^{2}\, \textrm{tg}\, \alpha=\frac{1}{2}\left [ R^{2}-(R-x)^{2} \right ]\, \textrm{tg}\, \alpha=\frac{1}{2}(2Rx-x^{2})\, \textrm{tg}\, \alpha.$$

При изменении $x$ на величину $dx$ объем $v$ изменится на величину $\Delta v$ эквивалентную объему прямого цилиндра (призмы) с высотой $dx$ и площадью основания $S(x)$:

$$\displaystyle \Delta v\approx dv=S(x)dx=\frac{1}{2}(2Rx-x^{2})\, \textrm{tg}\, \alpha\, dx.$$

Всему искомому объему соответствует изменение $x$ от 0 до $2R$, поэтому

$$\displaystyle V=\frac{\, \textrm{tg}\, \alpha}{2}\int_{0}^{2R}(2Rx-x^{2})dx=\frac{\, \textrm{tg}\, \alpha}{2}\left ( Rx^{2}-\frac{x^{3}}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2R}=\frac{2}{3}R^{3}\, \textrm{tg}\, \alpha.$$

Рис. 3

Задача 2. Найти объем трехосного эллипсоида

$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.$$

Решение. Плоское сечение эллипсоида, параллельное плоскости $xOz$ и отстоящее от нее на расстоянии $y=h$, рис. 3, представляет эллипс

$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{h^{2}}{b^{2}},\; \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}+\frac{z^{2}}{c_{1}^{2}}=1,$$

с полуосями

$$\displaystyle a_{1}=\frac{a}{b}\sqrt{b^{2}-h^{2}},\; c_{1}=\frac{c}{b}\sqrt{b^{2}-h^{2}}.$$

Площадь этого сечения, как площадь эллипса, найдем по формуле, полученной в решении задачи 1(4) (урок 84),

$$\displaystyle S(h)=\pi a_{1}c_{1}=\frac{\pi ac}{b^{2}}(b^{2}-h^{2}).$$

Подставляя в формулу (*), получим объем всего эллипсоида

$$\displaystyle V=\frac{2\pi ac}{b^{2}}\int_{0}^{b}(b^{2}-h^{2})dh=\frac{2\pi ac}{b^{2}}\left ( b^{2}h-\frac{h^{3}}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{b}=\frac{4}{3}\pi abc.$$

При $a=b=c$ полученная формула для объема эллипсоида преобразуется в формулу для объема шара $\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi a^{3}$.

Задача 3. Найти объем, общий двум цилиндрам: $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},\; y^{2}+z^{2}=a^{2}$ (ограниченный данными цилиндрическими поверхностями).
Решение. Построим восьмую часть тела, расположенную в первом октанте, рис. 4.

Рис. 4

Любое сечение тела плоскостью, параллельной плоскости $xOz$, представляет квадрат. Площадь сечения $PQNM$, отстоящего от плоскости $xOz$ на расстоянии $OM=h$, найдем как площадь квадрата со стороной

$$MP=MN=\sqrt{a^{2}-h^{2}};\; S(h)=a^{2}-h^{2},\; 0\leq h\leq a.$$

Весь искомый объем, согласно формуле (*), выразится интегралом

$$\displaystyle V=8\int_{0}^{a}(a^{2}-h^{2})dh=8\left ( a^{2}h-\frac{h^{3}}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{a}=\frac{16}{3}a^{3}.$$