Если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 1), то любое его плоское сечение, перпендикулярное коси , будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой .
Рис. 1
Площадь сечения , соответствующего абсциссе , как площадь круга, равна .
Дифференциал объема тела, соответствующий приращению , будет , а весь объем тела вращения определяется формулой
Рис. 2
Если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции , прилежащей к оси , рис. 2, то ,
Задача 1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1) вокруг оси ;
2) вокруг оси ;
3) вокруг оси ;
4) вокруг оси ;
5) вокруг прямой .
Решение. 1) Построив параболу и прямую получим параболический сегмент , рис. 3. При вращении его вокруг оси Ох образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела, согласно общим указаниям, найдем по формуле (А):
Рис. 3
2) Если у данного эллипса , то при вращении его вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения, рис. 4. Вычислим объем этого тела по формуле (В):
Рис. 4
При вращении эллипса вокруг его большой оси получается удлиненный эллипсоид вращения, рис. 5, объем которого
. Очевидно, .
Рис. 5
3) Ограниченная данными линиями фигура , рис. 6, при вращении вокруг оси образует тело, объем которого можно найти как разность объемов тел, образованных вращением вокруг оси трапеций и .
Объем , образованный вращением трапеции , можно найти по формуле (А):
или как объем усеченного конуса по формуле элементарной геометрии.
Рис. 6
Объем , образованный вращением криволинейной трапеции , найдем по формуле (А):
Искомый объем
4) Фигура, ограниченная астроидой, рис. 7, при вращении вокруг оси образует тело вращения, объем которого определяется формулой (А):
Рис. 7
Исходя из данных параметрических уравнений астроиды , преобразуем последний интеграл к переменной : при ;
при ;
Далее тождественно преобразуем подынтегральное выражение и, применяя формулу интегрирования степени, получим
5) Параболический сегмент , ограниченный параболой и осью , рис. 8, при вращении вокруг прямой образует тело, любое сечение которого плоскостью, перпендикулярной к оси вращения, представляет круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями. Площадь такого сечения, отстоящего от начала координат на расстоянии ,
так как есть абсцисса точки, лежащей на данной параболе, т. е. .
При изменении на величину дифференциал объема тела будет
Рис. 8
Весь искомый объем получается при изменении от 0 до 4. Поэтому, интегрируя в этих пределах, получим