Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Если тело образуется при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции \displaystyle x_{1}ABx_{2} (рис. 1), то любое его плоское сечение, перпендикулярное коси Ox, будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой y=f(x).
Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 1

Площадь сечения S(x), соответствующего абсциссе x, как площадь круга, равна \pi y^{2}.
Дифференциал объема тела, соответствующий приращению dx, будет \displaystyle dv=\pi y^{2}dx, а весь объем тела вращения определяется формулой

\displaystyle V=\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}}y^{2}dx\; (x_{1}<x_{2})\; \; \; \; \; (A)

Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 2

Если тело образуется при вращении вокруг оси Oy криволинейной трапеции \displaystyle y_{1}ABy_{2}, прилежащей к оси Oy, рис. 2, то \displaystyle dv=\pi x^{2}dy,

\displaystyle V=\pi \int_{y_{1}}^{y_{2}}x^{2}dy\; (y_{1}<y_{2})\; \; \; \; \; (B)

Задача 1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1) \displaystyle y^{2}=2px,\: x=a вокруг оси Ox;
2) \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 вокруг оси Oy;
3) \displaystyle 2y=x^{2}\: 2x+2y-3=0 вокруг оси Ox;
4) \displaystyle x=a\, \cos ^{3}t,\: y=a\, \sin ^{3}t вокруг оси Ox;
5) \displaystyle y=4-x^{2},\: y=0 вокруг прямой x=3.

Решение. 1) Построив параболу \displaystyle y^{2}=2px и прямую x=a получим параболический сегмент OAB, рис. 3. При вращении его вокруг оси Ох образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела, согласно общим указаниям, найдем по формуле (А):

\displaystyle V=\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}}y^{2}dx=\pi \int_{0}^{a}2pxdx=\pi px^{2}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{a}=\pi pa^{2}.


Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 3

2) Если у данного эллипса b<a, то при вращении его вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения, рис. 4. Вычислим объем \displaystyle V_{1} этого тела по формуле (В):

\displaystyle V_{1}=\pi \int_{y_{1}}^{y_{2}}x^{2}dy=\pi a^{2}\int_{-b}^{b}\left ( y-\frac{y^{2}}{b^{2}} \right )dy=2\pi a^{2}\left ( y-\frac{y^{3}}{3b^{2}} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{b}=\frac{4}{3}\pi a^{2}b.

Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 4

При вращении эллипса вокруг его большой оси получается удлиненный эллипсоид вращения, рис. 5, объем которого
\displaystyle V_{2}=\frac{4}{3}\pi ab^{2}. Очевидно,

Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 5

3) Ограниченная данными линиями фигура OAB, рис. 6, при вращении вокруг оси Ox образует тело, объем которого можно найти как разность объемов тел, образованных вращением вокруг оси Ox трапеций \displaystyle A_{1}ABB_{1} и \displaystyle A_{1}AOBB_{1}.
Объем \displaystyle V_{1}, образованный вращением трапеции \displaystyle A_{1}ABB_{1}, можно найти по формуле (А):

\displaystyle V_{1}=\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}}y^{2}dx=\pi \int_{-3}^{1}(1,5-x)^{2}dx=\pi \int_{-3}^{1}(1,5-x)^{2}d(1,5-x)=\frac{\pi (1,5-x)^{3}}{3}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-3}^{1}=\frac{91}{3}\pi


или как объем усеченного конуса по формуле элементарной геометрии.
Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 6

Объем \displaystyle V_{2}, образованный вращением криволинейной трапеции \displaystyle A_{1}AOBB_{1}, найдем по формуле (А):

\displaystyle V_{2}=\frac{\pi }{4}\int_{-3}^{1}x^{4}dx=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x^{5}}{5}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-3}^{1}=\frac{\pi }{20}(1+243)=\frac{61}{5}\pi .


Искомый объем \displaystyle V=V_{1}-V_{2}=18\frac{2}{15}\pi.

4) Фигура, ограниченная астроидой, рис. 7, при вращении вокруг оси Ox образует тело вращения, объем которого определяется формулой (А):

\displaystyle V=\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}}y^{2}dx=\pi \int_{-a}^{a}y^{2}dx=2\pi \int_{0}^{a}y^{2}dx.


Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 7

Исходя из данных параметрических уравнений астроиды \displaystyle x=a\, \cos ^{3}t,\: y=a\, \sin ^{3}t, преобразуем последний интеграл к переменной t: \displaystyle y^{2}=a^{2}\, \sin ^{6}t;\: dx=-3a\, \cos ^{2}t\sin tdt;\: t=\frac{\pi }{2} при x=0;
t=0 при x=a;

\displaystyle V=2\pi \int_{0}^{a}y^{2}dx=-6a^{3}\pi \int_{\frac{\pi }{2}}^{0}\sin ^{6}t\cos ^{2}t\sin tdt.


Далее тождественно преобразуем подынтегральное выражение и, применяя формулу интегрирования степени, получим

\displaystyle V=6a^{3}\pi \int_{\frac{\pi }{2}}^{0}(1-\cos ^{2}t)^{3}\cos ^{2}t(-\sin t)dt=6a^{3}\pi \int_{\frac{\pi }{2}}^{0}(\cos ^{2}t-3\cos ^{4}t+3\cos ^{6}t-\cos ^{8}t)d\cos t=6a^{3}\pi\left ( \frac{1}{3}\cos ^{3}t-\frac{3}{5}\cos ^{5}t+\frac{3}{7}\cos ^{7}t-\frac{1}{9}\cos ^{9}t \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\frac{\pi }{2}}^{0}=\frac{32}{105}\pi a^{3}.

5) Параболический сегмент ABC, ограниченный параболой \displaystyle y=4-x^{2} и осью Ox, рис. 8, при вращении вокруг прямой x=3 образует тело, любое сечение которого плоскостью, перпендикулярной к оси вращения, представляет круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями. Площадь такого сечения, отстоящего от начала координат на расстоянии y,

\displaystyle S=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left | (3+x)^{2}-(3-x)^{2} \right |=12\pi x=12\pi \sqrt{4-y},


так как x есть абсцисса точки, лежащей на данной параболе, т. е. \displaystyle x=\sqrt{4-y}.
При изменении y на величину dy дифференциал объема тела будет \displaystyle dv=S(y)dy=12\pi \sqrt{4-y}\, dy.
Объем тела вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 86

Рис. 8

Весь искомый объем получается при изменении y от 0 до 4. Поэтому, интегрируя dv в этих пределах, получим

\displaystyle V=12\pi \int_{0}^{4}\sqrt{4-y}\, dy=-12\pi \int_{0}^{4}(4-y)^{\frac{1}{2}}d(4-y)=8\pi (4-y)^{\frac{3}{2}}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{4}^{0}=64\pi .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

8 − восемь =