Площадь плоской фигуры. Практикум по математическому анализу. Урок 84

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:
1) параболой $4y=8x-x^{2}$ и прямой $4y=x+6$;
2) параболами $y=4-x^{2}$ и $y=x^{2}-2x$;
3) кубическими параболами $6x=y^{3}-16y$ и $24x=y^{3}-16y$;
4) эллипсом $x=a\cos t,\: y=a\sin t$;
5) кардиоидой $\rho =\alpha (1+\cos \varphi )$;
6) окружностями $\rho =2\sqrt{3} \alpha$ и $\rho =2 \alpha \sin \varphi$.
Решение. 1) Совместно решая данные уравнения, определим две точки пересечения линий, ограничивающих искомую площадь, $\displaystyle A\left ( 1;\frac{7}{4} \right ),\: B(6;3)$.

Рис. 90

Построив эти точки и проходящие через них данные линии, рис. 90, видим, что искомая площадь $ANB$ равна разности площадей $S_{1}=A_{1}ANBB_{1}$ и $S_{2}=A_{1}ABB_{1}$. Площадь $S_{1}$ согласно формуле

$$\displaystyle S=\int_{x_{1}}^{x_{2}}ydx.\; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$

выражается интегралом

$$S_{1}=\int_{1}^{6}ydx=\frac{1}{4}\int_{1}^{6}(8x-x^{2})dx=\frac{1}{4}\left ( 4x^{2}-\frac{x^{3}}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1}^{6}=\frac{205}{12}.$$

Площадь $S_{2}$ трапеции $A_{1}ABB_{1}$ равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
$\displaystyle S_{2}=\frac{A_{1}A+B_{1}B}{2}\cdot A_{1}B_{1}=\frac{95}{8}.$
Следовательно, искомая площадь $\displaystyle S=S_{1}-S_{2}=\frac{205}{12}-\frac{95}{8}=5\frac{5}{24}.$
Если за единицу длины принят дециметр, то $\displaystyle S=5\frac{5}{24}$ кв. дм.

Рис. 91

2) Определив точки пересечения парабол $\displaystyle A(-1;3)$ и $B(2;0)$ и построив эти точки и параболы, рис. 91, видим, что искомую площадь $S$ можно найти как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций: $\displaystyle S=S_{A_{1}ACB}+S_{OBD}-S_{A_{1}AO}$.

$$\displaystyle S_{A_{1}ACB}=\int_{-1}^{2}(4-x^{2})dx=4x-\frac{x^{3}}{3}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-1}^{2}=8-\frac{8}{3}+4-\frac{1}{3}=9.$$

$$S_{OBD}=\int_{2}^{0}(x^{2}-2x)dx=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{2}^{0}=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}.$$

Площадь $OBD$ расположена под осью $Ox$, поэтому, чтобы получить ее величину с положительным знаком, пределы интегрирования взяты справа налево.

$$S_{A_{1}AO}=\int_{-1}^{0}(x^{2}-2x)dx=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-1}^{0}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}.$$

Следовательно, $S=9+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=9.$

Площадь $S$ можно найти иначе, определив ее дифференциал $ds$ как площадь прямоугольника, у которого высота есть разность ординат данных парабол, а основание $dx$, рис. 91:

$$ds=(y_{1}-y_{2})dx=((4-x^{2})-(x^{2}-2x))dx=(4+2x-2x^{2})dx.$$

Отсюда

$$S=\int_{-1}^{2}(4+2x-2x^{2})dx=4x+x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-1}^{2}=9.$$

Рис. 92

3) Находим три точки пересечения данных парабол: $O(0;0),\, A(0;-4),\, B(0;4)$, затем строим эти точки и параболы, рис. 92.
Искомая площадь $S$ состоит из двух одинаковых частей; половину ее можно найти как разность площадей криволинейных трапеций $OCB$ и $ODB$, прилежащих к оси $Oy$. Согласно формуле

$$\displaystyle S=\int_{y_{1}}^{y_{2}}xdy.\; \; \; \; \; \; \; (2)$$

имеем

$$S_{OCB}=\int_{4}^{0}x_{1}dy=\frac{1}{6}\int_{4}^{0}(y^{3}-16y)dy;$$

$$S_{ODB}=\int_{4}^{0}x_{2}dy=\frac{1}{24}\int_{4}^{0}(y^{3}-16y)dy;$$

$$S=2(S_{OCB}-S_{ODB})=2\int_{4}^{0}(x_{1}-x_{2})dy=\frac{1}{4}\int_{4}^{0}(y^{3}-16y)dy=\frac{1}{4}\left ( \frac{y^{4}}{4}-8y^{2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{4}^{0}=\frac{1}{4}(-64+128)=16.$$

Рис. 93

4) Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса (рис. 93), и поэтому они делят его на четыре одинаковые части. Четвертую часть искомой площади $S$, расположенную в первом квадранте, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси $Ox$:

$$\frac{1}{4}S=\int_{0}^{a}ydx.$$

Пользуясь данными параметрическими уравнениями эллипса, преобразуем интеграл к переменной $t$: $y=b\sin t,\: dx=-a\sin t\, dt;$ когда $x=0$, то $t=\frac{\pi }{2};$ когда $x=a$, то $t=0$;

$$S=4\int_{0}^{a}ydx=-4ab\int_{\frac{\pi }{2}}^{0}\sin ^{2}tdt=2ab\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2t)dt=2ab\left ( t-\frac{1}{2}\sin 2t \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\frac{\pi }{2}}=\pi ab.$$

Отсюда при $a=b$ получается формула для площади круга: $S=\pi a^{2}.$

Рис. 94

5) Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 94). Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади
криволинейного сектора $OAB$. Дуга $ABO$ описывается концом полярного радиуса $\rho$ при изменении полярного угла $\varphi$ от 0 до $\pi$. Поэтому согласно формуле

$$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\rho ^{2}d\varphi.\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3)$$

$$S=2\cdot \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }\rho ^{2}d\varphi =a^{2}\int_{0}^{\pi}(1+\cos \varphi)^{2}d\varphi =a^{2}\int_{0}^{\pi}(1+2\cos \varphi +\cos ^{2}\varphi )d\varphi =a^{2}\left [ \int d\varphi +2\int \cos \varphi d\varphi +\frac{1}{2}\int (1+\cos 2\varphi )d\varphi \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\pi}=\frac{3}{2}\pi a^{2}.$$

Рис. 95

6) Решив совместно данные уравнения, найдем точку пересечения окружностей $A\left ( \frac{\pi }{3};a\sqrt{3} \right )$ . Построив окружности, рис. 95, видим, что искомая площадь $S$ равна сумме площадей криволинейных секторов $OBA$ и $OCA$.
Дуга $ABO$ описывается концом полярного радиуса $\rho$ большей окружности при изменении полярного угла $\varphi$ от $\frac{\pi }{3}$ до $\frac{\pi }{2}$, поэтому

$$S_{OBA}= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\rho ^{2}d\varphi =6a^{2}\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\cos^{2} \varphi d\varphi =3a^{2}\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\varphi)d\varphi=3a^{2}\left ( \varphi +\frac{1}{2}\sin 2\varphi \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}=3a^{2}\left ( \frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right ).$$

Дуга $OCA$ описывается концом полярного радиуса $\rho$ меньшей окружности при изменении полярного угла от 0 до $\frac{\pi }{3}$, поэтому

$$S_{OCA}= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\rho ^{2}d\varphi =2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\sin^{2} \varphi d\varphi =a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}(1-\cos 2\varphi)d\varphi=a^{2}\left ( \varphi -\frac{1}{2}\sin 2\varphi \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\frac{\pi }{3}}=a^{2}\left ( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right ).$$

Следовательно, $S=S_{OBA}+S_{OCA}=a^{2}\left ( \frac{5}{6}\pi -\sqrt{3} \right )\approx 0,89.$