Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Если поверхность образуется при вращении дуги AM плоской кривой вокруг оси Ox (рис. 1), то дифференциал площади этой поверхности равен площади боковой поверхности усеченного круглого конуса с образующей dl и радиусами оснований y и y+dy:

\displaystyle ds=\frac{2\pi y+2\pi (y+dy)}{2}dl=\pi (2y+dy)dl\approx 2\pi y\, dl,

а площадь поверхности, образованной вращением дуги AB, определяется формулой

\displaystyle S=\int_{(A)}^{(B)}ds=2\pi \int_{(A)}^{(B)}y dl,\; \; \; \; \; \; (1)

где (A) и (B) обозначают значения в точках A и B выбранной переменной интегрирования, dl —дифференциал дуги кривой.

Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Рис. 1

При вращении дуги AB кривой вокруг оси Oy (рис. 2)

\displaystyle ds\approx 2\pi x\, dl;\; S=\int_{(A)}^{(B)}ds=2\pi \int_{(A)}^{(B)}x dl.\; \; \; \; \; (2)

Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Рис. 2

Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: 1) дуги кубической параболы \displaystyle y=x^{3}, заключенной между прямыми \displaystyle x=-\frac{2}{3} и \displaystyle x=\frac{2}{3}; 2) астроиды \displaystyle x=a\cos ^{3}t,\: y=a\sin ^{3}t; 3) эллипса

\displaystyle S=2\cdot 2\pi \int_{0}^{\frac{2}{3}}y\sqrt{1+(y')^{2}}dx=4\pi \int_{0}^{\frac{2}{3}}x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}dx.

Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Рис. 3

Для вычисления интеграла полагаем \displaystyle 1+9x^{4}=z, тогда \displaystyle 36x^{3}dx=dz;\: z_{1}=1 при \displaystyle x=0;\: z_{2}=\frac{25}{9} при \displaystyle x=\frac{2}{3};

\displaystyle S=4\pi \int_{1}^{\frac{25}{9}}\sqrt{t}\frac{dt}{36}=\frac{\pi }{9}\int_{1}^{\frac{25}{9}}t^{\frac{1}{2}}dt=\frac{\pi }{9}\cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{1}^{\frac{25}{9}}=\frac{2\pi }{27}\left ( \frac{125}{27}-1 \right )\approx 0,845.

2) Применяя формулу (1), преобразуя ее к переменной t, исходя из уравнений астроиды, получим

\displaystyle S=2\cdot 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}y\sqrt{x^{2}+y^{2}}dt=4\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}a\sin ^{3}t\sqrt{(-3a\cos ^{2}t\sin t)^{2}+(3a\sin ^{2}t\cos t)^{2}}dt=12a^{2}\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{4}t\cos tdt=12a^{2}\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{4}td\sin t=\frac{12}{5}a^{2}\pi \sin ^{5}t\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{12}{5}\pi a^{2}.

(Четвертая часть астроиды, расположенная в первом квадранте (рис. 4) получается при изменении t от 0 до \displaystyle \frac{\pi }{2}.)

Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Рис. 4

3) Дифференцируя по x обе части уравнения эллипса \displaystyle \frac{2x}{a^{2}}+\frac{2yy'}{b^{2}}=0,\: yy'=-\frac{b^{2}x}{a^{2}} и подставляя в формулу (1), находим

\displaystyle S=2\pi \int_{-a}^{a}y\sqrt{1+(y')^{2}}dx=4\pi \int_{0}^{a}\sqrt{y^{2}+(yy')^{2}}dx=4\pi \int_{0}^{a}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{4}x^{2}}{a^{4}}}dx=\frac{4\pi b}{a}\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}x^{2}}dx=\frac{4\pi b}{a}\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-\varepsilon ^{2}x^{2}}dx,

где \displaystyle \varepsilon =\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\frac{c}{a} — эксцентриситет эллипса.
Полагая \displaystyle \varepsilon x=a\sin t, получим \displaystyle \varepsilon dx=a\cos t\, dt;\: t_{1}=0 при \displaystyle x=0;\: t_{2} =\textrm{arcsin}\, \varepsilon при \displaystyle x=a;

\displaystyle S=\frac{4\pi b}{a}\int_{0}^{t_{2}}\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin ^{2}t}\, \frac{a}{\varepsilon }\cos t\, dt=\frac{4\pi ab}{\varepsilon }\int_{0}^{t_{2}}\cos ^{2}t\, dt=\frac{2\pi ab}{\varepsilon }\int_{0}^{t_{2}}(1+\cos 2t)dt=\frac{2\pi ab}{\varepsilon }\left ( t+\frac{1}{2}\sin 2t \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{t_{2}}=2\pi b\left ( b+\frac{a}{\varepsilon }\textrm{arcsin}\, \varepsilon \right ).

Отсюда при \displaystyle \varepsilon \to 0 получается площадь поверхности шара \displaystyle S=4\pi a^{2}.

Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy: 1) дуги окружности \displaystyle x^{2}+(y-b)^{2}=R^{2} между ее точками, где \displaystyle y=y_{1} и \displaystyle y=y_{2} 2) петли кривой \displaystyle 9ax^{2}=y(3a-y)^{2}.

Решение. 1) Если дуга данной окружности не пересекает оси Oy (своего диаметра), то при вращении ее вокруг этой оси образуется поверхность, называемая сферическим поясом (рис. 5). Дифференцируя по y обе части уравнения окружности \displaystyle 2xx'+2(y-b)=0,\: xx'=-(y-b) и подставляя в формулу (2), получим

\displaystyle S=2\pi \int_{y_{1}}^{y_{2}}x\sqrt{1+(x')^{2}}dy=2\pi \int_{y_{1}}^{y_{2}}\sqrt{x^{2}+(xx')^{2}}dy=2\pi \int_{y_{1}}^{y_{2}}\sqrt{R^{2}-(y-b)^{2}+(y-b)^{2}}dy=2\pi R\int_{y_{1}}^{y_{2}}dy=2\pi R(y_{2}-y_{1})=2\pi RH,

где H — высота пояса. При H=2R получим формулу площади сферы \displaystyle S=4\pi R^{2}.

Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Рис. 5

2) Петля данной кривой (рис. 6) описывается текущей точкой при изменении y от 0 до 3a. Поэтому, дифференцируя по y обе части ее уравнения: \displaystyle 18axx'=(3a-y)^{2}-2y(3a-y)=3(3a-y)(a-y),\: xx'=\frac{(3a-y)(a-y)}{6a} и подставляя в формулу (2), получим

\displaystyle S=2\pi \int_{0}^{3a}\sqrt{x^{2}+(xx')^{2}}dy=2\pi \int_{0}^{3a}\sqrt{\frac{y(3a-y)^{2}}{9a}+\frac{(3a-y)^{2}(a-y)^{2}}{36a^{2}}}dy=2\pi \int_{0}^{3a}\frac{3a-y}{6a}\sqrt{a^{2}+2ay+y^{2}}dy=\frac{\pi }{3a}\int_{0}^{3a}(3a^{2}+2ay-y^{2})dy=3\pi a^{2}.

Площадь поверхности вращения. Практикум по математическому анализу. Урок 88

Рис. 6

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

десять − один =