Если поверхность образуется при вращении дуги плоской кривой вокруг оси (рис. 1), то дифференциал площади этой поверхности равен площади боковой поверхности усеченного круглого конуса с образующей и радиусами оснований и :
а площадь поверхности, образованной вращением дуги , определяется формулой
где и обозначают значения в точках и выбранной переменной интегрирования, —дифференциал дуги кривой.
Рис. 1
При вращении дуги кривой вокруг оси (рис. 2)
Рис. 2
Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси : 1) дуги кубической параболы , заключенной между прямыми и ; 2) астроиды ; 3) эллипса
Решение. 1) Построив дугу параболы между точками и , где (рис. 3), замечаем, что поверхность, образуемая вращением этой дуги вокруг оси , состоит из двух одинаковых частей. Поэтому и согласно формуле (1), имеем
Рис. 3
Для вычисления интеграла полагаем , тогда при при ;
2) Применяя формулу (1), преобразуя ее к переменной , исходя из уравнений астроиды, получим
(Четвертая часть астроиды, расположенная в первом квадранте (рис. 4) получается при изменении от 0 до .)
Рис. 4
3) Дифференцируя по обе части уравнения эллипса и подставляя в формулу (1), находим
где — эксцентриситет эллипса.
Полагая , получим при при ;
Отсюда при получается площадь поверхности шара .
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси : 1) дуги окружности между ее точками, где и 2) петли кривой .
Решение. 1) Если дуга данной окружности не пересекает оси (своего диаметра), то при вращении ее вокруг этой оси образуется поверхность, называемая сферическим поясом (рис. 5). Дифференцируя по обе части уравнения окружности и подставляя в формулу (2), получим
где — высота пояса. При получим формулу площади сферы .
Рис. 5
2) Петля данной кривой (рис. 6) описывается текущей точкой при изменении от 0 до . Поэтому, дифференцируя по обе части ее уравнения: и подставляя в формулу (2), получим
Рис. 6