Пример 1. Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
Решение. Величина давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины ее погружения , т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости: ; — удельный вес жидкости, — площадь площадки.
Рис. 1
Руководствуясь общей схемой (II) применения определенного интеграла к вычислению величин, разделим шлюз на глубине горизонтальной прямой (рис. 1). Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет некоторой функцией . Найдем дифференциал этой функции, т. е. приближенную величину (главную часть) ее приращения при изменении глубины на малую величину .
Допустим, ввиду малости , что все точки заштрихованной полоски находятся на глубине , т. е. что она расположена на глубине в горизонтальной плоскости. Тогда приближенная величина давления воды на эту полоску будет равна весу столба воды, имеющего основанием эту полоску, и высотой — глубину :
(Удельный вес воды .)
Согласно условию задачи глубина изменяется на отрезке . Поэтому искомое давление на весь шлюз найдем, интегрируя в пределах от 0 до 6:
Пример 2. При условиях предыдущей задачи найти, на какой глубине надо разделить шлюз горизонтальной прямой, чтобы давление воды на верхнюю и нижнюю части шлюза было одинаково.
Решение. Определим давление воды на каждую часть шлюза, интегрируя в пределах от 0 до и в пределах от до 6, затем приравниваем интегралы друг другу:
Решая полученное уравнение, найдем м.
Рис. 2
Пример 3. Определить давление воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, размеры которой указаны на рис. 2.
Решение. Допуская, что заштрихованная полоска расположена на глубине в горизонтальной плоскости и что она является прямоугольником со сторонами и , найдем приближенную величину давления воды на эту полоску и затем давление воды на всю плотину:
Для вычисления интеграла выразим переменную через переменную . Проведя вспомогательную прямую параллельно из подобия треугольников и имеем пропорцию
из которой находим
Подставляя в подынтегральное выражение и интегрируя, получим
Пример 4. Найти давление воды на поверхность шара диаметром 4 м, если его центр находится на глубине 3 м от поверхности воды.
Решение. Проведем через центр шара вертикальную плоскость и выберем на ней прямоугольную систему координат , как показано на рис. 3.
Рис. 3
Рассечем шар на глубине горизонтальной плоскостью. Тогда давление воды на отсеченную часть поверхности шара будет некоторой функцией .
При изменении на величину площадь отсеченной части поверхности шара, как площадь поверхности вращения вокруг оси , изменится на величину , где — дифференциал дуги окружности, а давление изменится на величину
Выразив через одну переменную и интегрируя в пределах от до , найдем давление воды на всю поверхность шара. Из уравнения окружности найдем и затем из чертежа находим Следовательно,
Давление на верхнюю половину поверхности шара получим, интегрируя в пределах от —2 до 0:
Давление на нижнюю половину поверхности шара будет