Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 89

Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 89

Пример 1. Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
Решение. Величина p давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины ее погружения x, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости: \rho =\delta ax; \delta — удельный вес жидкости, a — площадь площадки.
Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 89

Рис. 1


Руководствуясь общей схемой (II) применения определенного интеграла к вычислению величин, разделим шлюз на глубине x горизонтальной прямой (рис. 1). Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет некоторой функцией p(x). Найдем дифференциал dp этой функции, т. е. приближенную величину (главную часть) ее приращения \Delta p при изменении глубины x на малую величину dx.
Допустим, ввиду малости dx, что все точки заштрихованной полоски находятся на глубине x, т. е. что она расположена на глубине x в горизонтальной плоскости. Тогда приближенная величина давления воды на эту полоску будет равна весу столба воды, имеющего основанием эту полоску, и высотой — глубину x:
\Delta p\approx dp=18\delta x\, dx=18x\, dx. (Удельный вес воды \delta =1.)
Согласно условию задачи глубина x изменяется на отрезке 0\leq x\leq 6. Поэтому искомое давление P на весь шлюз найдем, интегрируя dp в пределах от 0 до 6:

\displaystyle P=18\int_{0}^{6}xdx=9x^{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{6}=324T\approx 324000\cdot 9,81H\approx 3178440H\approx 3,18MH.

Пример 2. При условиях предыдущей задачи найти, на какой глубине x=c надо разделить шлюз горизонтальной прямой, чтобы давление воды на верхнюю и нижнюю части шлюза было одинаково.
Решение. Определим давление воды на каждую часть шлюза, интегрируя dp в пределах от 0 до c и в пределах от c до 6, затем приравниваем интегралы друг другу:

\displaystyle 18\int_{0}^{c}xdx=18\int_{c}^{6}xdx;\; x^{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{c}=x^{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{c}^{6};\; c^{2}=36-c^{2}.


Решая полученное уравнение, найдем c=3\sqrt{2}\approx 4,23 м.
Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 89

Рис. 2

Пример 3. Определить давление воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, размеры которой указаны на рис. 2.
Решение. Допуская, что заштрихованная полоска расположена на глубине x в горизонтальной плоскости и что она является прямоугольником со сторонами y и dx, найдем приближенную величину давления воды на эту полоску \Delta p\approx xy\, dx=dp и затем давление воды на всю плотину: \displaystyle P=\int_{0}^{h}xy\, dx.
Для вычисления интеграла выразим переменную y через переменную x. Проведя вспомогательную прямую CE параллельно BA из подобия треугольников DCE и MCN имеем пропорцию

(a-b):(a-y)=h:x,


из которой находим \displaystyle y=a-\frac{x}{h}(a-b).
Подставляя в подынтегральное выражение и интегрируя, получим

\displaystyle P=\int_{0}^{h}x\left ( a-\frac{x}{h}(a-b) \right )dx=a\int xdx-\frac{a-b}{h}\int x^{2}dx \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{h}=\frac{h^{2}(a+2b)}{6}.

Пример 4. Найти давление воды на поверхность шара диаметром 4 м, если его центр находится на глубине 3 м от поверхности воды.
Решение. Проведем через центр шара вертикальную плоскость и выберем на ней прямоугольную систему координат xOy, как показано на рис. 3.
Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 89

Рис. 3

Рассечем шар на глубине h горизонтальной плоскостью. Тогда давление воды на отсеченную часть поверхности шара будет некоторой функцией p(h).
При изменении h на величину dh площадь S отсеченной части поверхности шара, как площадь поверхности вращения вокруг оси Ox, изменится на величину \Delta s\approx 2\pi y\, dl=ds, где dl — дифференциал дуги окружности, а давление p(h) изменится на величину \Delta p\approx 2\pi hy\, dl=dp.

Выразив dp через одну переменную x и интегрируя в пределах от x=-2 до x=2, найдем давление воды на всю поверхность шара. Из уравнения окружности x^{2}+y^{2}=4 найдем \displaystyle y'=-\frac{x}{y} и затем \displaystyle dl=\sqrt{1+(y')^{2}}dx=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}}dx=\frac{2}{y}dx; из чертежа находим h=3+x. Следовательно,

\displaystyle P=2\pi \int_{-2}^{2}(3+x)y\frac{2}{y}dx=4\pi \int_{-2}^{2}(3+x)dx=2\pi (3+x)^{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-2}^{2}=48\pi T\approx 470880\pi H\approx 0,471\pi MH.

Давление на верхнюю половину поверхности шара получим, интегрируя dp в пределах от —2 до 0:

\displaystyle P_{1}=2\pi (3+x)^{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-2}^{0}=16\pi (T)\approx 156960\pi (H)\approx 0,157\pi MH.


Давление на нижнюю половину поверхности шара будет

\displaystyle P_{2}=2\pi (3+x)^{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2}=32\pi (T)\approx 313920\pi (H)\approx 0,314\pi MH.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

два × 3 =