Пример 5. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой м и радиусом основания м. Удельный вес масла .
Решение. Величина работы , затрачиваемой на поднятие некоторого тела, зависит от высоты его подъема: , — вес тела.
Допустим, что работа, затраченная на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною , рис. 1, есть некоторая функция и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении на величину объем слоя масла увеличится на величину , его вес увеличится на величину , а затраченная работа увеличится на величину .
Рис. 1
Всю искомую работу получим при изменении от 0 до . Поэтому
(кГм)
(дж) (дж).
Пример 6. При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара, если его ось имеет горизонтальное направление.
Решение. Как и в решении предыдущей задачи, полагаем, что работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною (рис. 2), есть некоторая функция и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении на величину объем слоя масла увеличится на величину , его вес увеличится на величину , а затраченная работа увеличится на величину .
Рис. 2
Вся искомая работа выразится интегралом от в пределах от до :
где переменная выражена через переменную из прямоугольного треугольника .
Для вычисления этого интеграла полагаем . Тогда при при ;
(кГм) (дж).
Пример 7. Шар лежит на дне бассейна глубиной дм. Определить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если его радиус дм, а удельный вес .
Решение. При подъеме шара до поверхности воды сила , совершающая работу, постоянна и равна разности между весом шара и весом вытесняемой им воды:
Поэтому работа необходимая для поднятия шара до поверхности воды, определяется элементарным путем как произведение силы на высоту подъема :
Рис. 3
При дальнейшем подъеме шара сила , совершающая работу, будет изменяться в зависимости от высоты надводной части шара (рис. 3):
где — вес шара, — вес воды, вытесняемой подводной частью шара, численно равный объему шарового сегмента с высотой :
Очевидно, и работа, совершаемая силой , будет некоторой функцией . Допуская, что при подъеме шара еще на малую высоту сила остается неизменной, найдем приближенную величину приращения работы
Интегрируя в пределах от до , найдем работу , которую надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бассейна до поверхности воды, полностью извлечь из воды:
Вся искомая работа
(кГм) (дж).