Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 90

Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 90

Пример 5. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой H=6 м и радиусом основания R=2 м. Удельный вес масла \delta =0,9.
Решение. Величина работы q, затрачиваемой на поднятие некоторого тела, зависит от высоты x его подъема: q=Px, P — вес тела.
Допустим, что работа, затраченная на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною x, рис. 1, есть некоторая функция q(x) и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении x на величину dx объем v слоя масла увеличится на величину \Delta v=\pi R^{2}dx, его вес p увеличится на величину \Delta p=\pi \delta R^{2}dx, а затраченная работа q увеличится на величину \Delta q\approx \pi \delta R^{2}xdx=dq.

Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 90

Рис. 1

Всю искомую работу Q получим при изменении x от 0 до H. Поэтому

\displaystyle Q=\pi \delta R^{2}\int_{0}^{H}xdx=\pi \delta R^{2}\frac{x^{2}}{2} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{H}=\frac{\pi \delta R^{2}H^{2}}{2}\approx 64800\pi (кГм) \approx
\approx 64800\cdot 9,81\pi (дж) \approx 635688\pi (дж).

Пример 6. При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара, если его ось имеет горизонтальное направление.
Решение. Как и в решении предыдущей задачи, полагаем, что работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя масла толщиною x (рис. 2), есть некоторая функция q(x) и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении x на величину dx объем v слоя масла увеличится на величину \Delta v\approx Hydx=dv, его вес p увеличится на величину \Delta p\approx \delta Hydx=dp, а затраченная работа q увеличится на величину \Delta q\approx \delta Hyxdx=dq.

Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 90

Рис. 2

Вся искомая работа Q выразится интегралом от dq в пределах от x=0 до x=2R:

\displaystyle Q=\delta H\int_{0}^{2R}xydx=2\delta H\int_{0}^{2R}x\sqrt{R^{2}-(x-R)^{2}}dx,

где переменная y выражена через переменную x из прямоугольного треугольника ONM.
Для вычисления этого интеграла полагаем x-R=R\sin t. Тогда \displaystyle dx=R\cos tdt;\; t=-\frac{\pi }{2} при \displaystyle x=0;\: t=\frac{\pi }{2} при x=R;

\displaystyle Q=2\delta H\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(R+R\sin t)R^{2}\cos ^{2}tdt=2\delta HR^{3}\left ( \int \cos ^{2}tdt+\int \cos ^{2}t\sin tdt \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=2\delta HR^{3}\left ( \frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t-\frac{1}{3}\cos ^{3}t \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=\pi \delta HR^{3}=43200\pi (кГм) \approx 423792\pi (дж).

Пример 7. Шар лежит на дне бассейна глубиной H=14 дм. Определить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если его радиус R=3 дм, а удельный вес \delta =2.

Решение. При подъеме шара до поверхности воды сила P_{1}, совершающая работу, постоянна и равна разности между весом шара и весом вытесняемой им воды:

\displaystyle P_{1}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\delta -\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}(\delta -1).

Поэтому работа Q_{1} необходимая для поднятия шара до поверхности воды, определяется элементарным путем как произведение силы P_{1} на высоту подъема H-2R:

\displaystyle Q_{1}=P_{1}(H-2R)=\frac{4}{3}\pi R^{2}(\delta -1)(H-2R).

Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 90

Рис. 3

При дальнейшем подъеме шара сила p, совершающая работу, будет изменяться в зависимости от высоты x надводной части шара (рис. 3):

\displaystyle p(x)=P_{sh}-p_{v},

где P_{sh} — вес шара, P_{v} — вес воды, вытесняемой подводной частью шара, численно равный объему шарового сегмента с высотой h=2R-x:

\displaystyle p_{v}=\pi h^{2}\left ( R-\frac{h}{3} \right )=\frac{\pi }{3}\left ( 2R-x \right )^{2}\left ( R+x \right )=\frac{\pi }{3}(x^{3}-3Rx^{2}+4R^{3}).

Очевидно, и работа, совершаемая силой p(x), будет некоторой функцией q(x). Допуская, что при подъеме шара еще на малую высоту dx сила p(x) остается неизменной, найдем приближенную величину приращения работы

\displaystyle \Delta q\approx p(x)dx=(P_{sh}-p_{v})dx=\frac{\pi }{3}[4R^{3}(\delta -1)-x^{3}+3Rx^{2}]dx=dq.

Интегрируя dq в пределах от x=0 до x=2R, найдем работу Q_{2}, которую надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бассейна до поверхности воды, полностью извлечь из воды:

\displaystyle Q_{2}=\frac{\pi }{3}\int_{0}^{2R}[4R^{3}(\delta -1)-x^{3}+3Rx^{2}]dx=\frac{\pi }{3}\left [ 4R^{3}(\delta -1)x-\frac{x^{4}}{4}+Rx^{3} \right ] \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{2R}=\frac{4}{3}\pi R^{4}(2\delta -1).

Вся искомая работа
\displaystyle Q=Q_{1}+Q_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}[R+(\delta -1)H]=61,2\pi(кГм)\approx 600,4\pi (дж).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пятнадцать − одиннадцать =