Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 91

Пример 8. Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом $P=1,5 T$ с поверхности земли на высоту $H=2000$ км.
Решение. Сила $F$ притяжения тела землей или вес тела зависит от его расстояния $x$ до центра земли: $\displaystyle F(x)=\frac{\lambda }{x^{2}}$, где $\lambda$ — постоянная.
Если $P$ есть вес тела, когда оно находится на поверхности земли, т. е. на расстоянии земного радиуса $R$ от центра земли, то $\displaystyle P=\frac{\lambda }{R^{2}},\: \lambda =PR^{2}$ и сила $F$, преодолеваемая двигателем поднимающейся ракеты в момент, когда она находится на расстоянии $x$ от центра земли, является известной функцией от $x$:

$$\displaystyle F(x)=\frac{PR^{2}}{x^{2}}.$$

Полагая, что работа, совершаемая двигателем ракеты при подъеме ее на высоту $x$, есть некоторая функция $q(x$ и допуская, что при дальнейшем подъеме ракеты на малую высоту $dx$ сила $F$ остается неизменной, найдем приближенную величину приращения работы

$$\displaystyle \Delta q\approx F(x)dx=\frac{PR^{2}}{x^{2}}dx=dq.$$

При подъеме ракеты с поверхности земли на высоту $H$ переменная $x$ изменяется от $R$ до $R+H$. Поэтому искомая работа $Q$ выражается интегралом

$$\displaystyle Q=\int_{R}^{R+H}F(x)dx=PR^{2}\int_{R}^{R+H}\frac{dx}{x^{2}}=PR^{2}\left ( -\frac{1}{x} \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{R}^{R+H}=\frac{PRH}{R+H}.$$

При $P=1,5\, T,\: H=2000$ км, $R=6400$ км, $Q\approx 2285714000$ кГм $\approx 22422854340$ дж.

Работу, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью освободить ракету от земного притяжения, можно определить как предел работы $Q(H)$ при неограниченном возрастании $H$:

$$\displaystyle \underset{H \to \infty }{lim}Q(H)=\underset{H \to \infty }{lim}\frac{PRH}{R+H}=\underset{H \to \infty } {lim}\left [ PR:\left ( \frac{R}{H}+1 \right )\right ]=PR.$$

При указанных значениях $P$ и $R$ эта работа составит 9 600 000 000 кГм $\approx$ 94176 000 000 дж.

Пример 9. Цилиндр высотой $H=1,5$ м и радиусом $R=0,4$ м, наполненный газом под атмосферным давлением (10330 кг/м²), закрыт поршнем. Определить работу, затрачиваемую на изотермическое сжатие газа при перемещении поршня на расстояние $h=1,2$ м внутрь цилиндра.

Решение. При изотермическом изменении состояния газа, когда его температура остается неизменной, зависимость между объемом $v$ и давлением $p$ газа выражается формулой $pv=c=\textrm{const}$. (Закон Бойля — Мариотта.)

Рис. 1

Поэтому, если поршень будет вдвинут на $x$ м внутрь цилиндра (рис. 1), то давление $p(x)$ газа на единицу площади поршня будет $\displaystyle p(x)=\frac{c}{v(x)}=\frac{c}{S(H-x)}$, а давление на всю площадь $S$ поршня будет $\displaystyle P(x)=Sp(x)=\frac{c}{H-x}.$

Полагая, что работа, затрачиваемая при в движении поршня на $x$ м, есть некоторая функция $q(x)$, и допуская, что при дальнейшем в движении поршня на малое расстояние $dx$ испытываемое им давление $P(x)$ остается неизменным, найдем приближенную величину приращения (дифференциал) функции $q(x)$:

$$\displaystyle \Delta q\approx P(x)dx=\frac{c}{H-x}dx=dq.$$

Всей искомой работе $Q$ соответствует изменение $x$ от 0 до $h$, поэтому

$$\displaystyle Q=c\int_{0}^{h}\frac{dx}{H-x}=-c\ln (H-x) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{0}^{h}=c\ln \frac{H}{H-h}.$$

При $H=1,5$ м, $R=0,4$ м, $h=1,2$ м, $p_{0}=10330$ кг/м², найдем $v_{0}=\pi R^{2}H=0,24\pi$ м³; $c=p_{0}v_{0}=2479,2\pi ;\; Q\approx 12533,3$ кГм $\approx 122951,7$ дж.

Пример 10. При условиях предыдущей задачи определить работу адиабатического сжатия газа, при котором его объем $v$ и давление $p$ связаны соотношением $pv^{k}=c=\textrm{const}$ (закон Пуассона), где $k$ — постоянная для данного газа величина, большая единицы. (Для воздуха $k\approx 1,4$.)

Решение. Повторяя те же рассуждения и употребляя те же обозначения, как и в решении предыдущей задачи, найдем следующее выражение для дифференциала работы:

$$\displaystyle dq(x)=\frac{cdx}{S^{k-1}(H-x)^{k}}.$$

Интегрируя в пределах от $x=0$ до $x=h$ получим всю искомую работу

$$\displaystyle Q=\frac{c}{S^{k-1}}\int_{0}^{h}\frac{dx}{(H-x)^{k}}=\frac{c}{S^{k-1}}\int_{h}^{0}(H-x)^{-k}d(H-x)=\frac{c}{S^{k-1}}\frac{(H-x)^{1-k}}{1-k} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{h}^{0}=\frac{p_{0}v_{0}^{k}}{S^{k-1}(k-1)}\left [ \frac{1}{(H-h)^{k-1}}-\frac{1}{H^{k-1}} \right ]=\frac{p_{0}v_{0}}{k-1}\left [ \left ( \frac{H}{H-h} \right )^{k-1}-1 \right ].$$

Полагая $H=1,5$ м, $k=1,4$, найдем $\displaystyle Q\approx \frac{2479,2\pi }{0,4}\left [ \left ( \frac{1,5}{0,3} \right )^{0,4}-1 \right ]\approx 17593,4$ кГм $\approx 172591,3$ дж.

Сравнение этого результата с предыдущими показывает, что работа, затрачиваемая при адиабатическом сжатии газа, больше, чем при изотермическом.