Пример 11. Прямоугольный резервуар с площадью горизонтального сечения м² наполнен водой до высоты м. Определить время, в течение которого вся вода вытечет из резервуара через небольшое отверстие в его дне площадью м², если принять, что скорость истечения воды равна , где — высота уровня воды над отверстием, — ускорение силы тяжести.
Решение. Разобьем искомое время на большое число малых промежутков и пусть за каждый такой промежуток уровень воды в резервуаре понижается на величину (рис. 1).
Рис. 1
Если допустить, что в течение каждого малого промежутка времени скорость истечения воды через отверстие в дне остается постоянной, равной ее значению в начале промежутка , то, приравняв объем воды, вытекшей с такой скоростью через отверстие в дне за промежуток объему опорожнившейся за этот же промежуток части резервуара, получим приближенное равенство
откуда
Приближенное значение всего искомого времени будет равно сумме
где по условию задачи точки заключены на отрезке .
Убедившись, что с возрастанием погрешность полученного приближенного значения стремится к нулю, найдем точное значение как предел интегральной суммы (*) при , т. е. как соответствующий определенный интеграл
Подставляя числовые значения параметров, получим сек мин.
Если бы убыль воды в резервуаре постоянно возмещалась, т. е. если бы уровень воды в нем оставался неизменным, то и скорость истечения воды была бы постоянной, равной . В этом случае в каждую секунду через отверстие в дне резервуара будет вытекать объем воды , равный объему прямого цилиндра с площадью основания и высотой . Поэтому при указанном предположении объем воды, вмещающейся в резервуаре, вытечет из него за время
Сопоставление этого результата с предыдущим показывает, что время истечения , без возмещения убыли воды в резервуаре, в два раза больше времени истечения , при постоянном возмещении убыли воды; .
Пример 12. При условиях предыдущей задачи определить, за какое время уровень воды в резервуаре изменится на м, если сверху в него непрерывно будет протекать м³ воды в секунду?
Решение. В этом случае за малый промежуток времени объем воды в резервуаре изменится на величину
откуда
Интегрируя в пределах от до , найдем искомое время , за которое уровень воды в резервуаре изменится на (м):
где
Применяя подстановку получим при при ;
Здесь изменение уровня воды в резервуаре может быть двояким. Если в начальный момент при скорость притока воды будет меньше скорости ее убывания из резервуара , то уровень воды будет понижаться до тех пор, пока эти скорости не станут одинаковыми. После этого вода будет оставаться на постоянном уровне, меньшем первоначального уровня на величину определяемую из уравнения .
Если же в начале процесса , то уровень воды в резервуаре будет подниматься до тех пор, пока не превысит первоначальный уровень на величину , определяемую из уравнения
после чего уровень воды в резервуаре будет оставаться неизменным.