Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 92

Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 92

Пример 11. Прямоугольный резервуар с площадью горизонтального сечения S=6 м² наполнен водой до высоты H=5 м. Определить время, в течение которого вся вода вытечет из резервуара через небольшое отверстие в его дне площадью s=0,01 м², если принять, что скорость истечения воды равна 0,6\sqrt{2gh}, где h — высота уровня воды над отверстием, g — ускорение силы тяжести.

Решение. Разобьем искомое время T на большое число n малых промежутков \Delta t_{1},\Delta t_{2},...,\Delta t_{n} и пусть за каждый такой промежуток уровень воды в резервуаре понижается на величину \displaystyle \Delta x=\frac{H}{n} (рис. 1).

Применение определенного интеграла в физике. Практикум по математическому анализу. Урок 92

Рис. 1

Если допустить, что в течение каждого малого промежутка времени \Delta t_{1} скорость истечения воды через отверстие в дне остается постоянной, равной ее значению в начале промежутка 0,6\sqrt{2g(H-x_{1})}, то, приравняв объем воды, вытекшей с такой скоростью через отверстие в дне за промежуток \Delta t_{1} объему опорожнившейся за этот же промежуток части резервуара, получим приближенное равенство

0,6s\sqrt{2g(H-x_{i})}\Delta t_{i}\approx S\Delta x,

откуда

\displaystyle \Delta t_{i}\approx \frac{S\Delta x}{0,6s\sqrt{2g(H-x_{i})}}.

Приближенное значение всего искомого времени T будет равно сумме

\displaystyle T=\sum_{i=1}^{n}\Delta t_{i}\approx \sum_{i=1}^{n}\frac{S\Delta x}{0,6s\sqrt{2g(H-x_{i})}},\; \; \; \; (*)

где по условию задачи точки x_{i} заключены на отрезке \left [ 0,H \right ].

Убедившись, что с возрастанием n погрешность полученного приближенного значения T стремится к нулю, найдем точное значение T как предел интегральной суммы (*) при n \to +\infty, т. е. как соответствующий определенный интеграл

\displaystyle T=\frac{S}{0,6s\sqrt{2g}}\int_{0}^{H}(H-x)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{S}{0,6s\sqrt{2g}}(H-x)^{\frac{1}{2}} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{H}^{0}=\frac{S}{0,6s}\sqrt{\frac{2H}{g}}.

Подставляя числовые значения параметров, получим T\approx 1010 сек \approx 16,83 мин.

Если бы убыль воды в резервуаре постоянно возмещалась, т. е. если бы уровень воды в нем оставался неизменным, то и скорость истечения воды была бы постоянной, равной 0,6\sqrt{2gH}. В этом случае в каждую секунду через отверстие в дне резервуара будет вытекать объем воды 0,6\sqrt{2gH}, равный объему прямого цилиндра с площадью основания s и высотой 0,6\sqrt{2gH}. Поэтому при указанном предположении объем воды, вмещающейся в резервуаре, вытечет из него за время

\displaystyle T_{1}=\frac{SH}{0,6s\sqrt{2gH}}=\frac{1}{2}\frac{S}{0,6s}\sqrt{\frac{2H}{g}}.

Сопоставление этого результата с предыдущим показывает, что время истечения T, без возмещения убыли воды в резервуаре, в два раза больше времени истечения T_{1}, при постоянном возмещении убыли воды; T=2T_{1}.

Пример 12. При условиях предыдущей задачи определить, за какое время уровень воды в резервуаре изменится на h м, если сверху в него непрерывно будет протекать V м³ воды в секунду?
Решение. В этом случае за малый промежуток времени \Delta t объем воды в резервуаре изменится на величину

S\Delta x\approx \left [ 0,6s\sqrt{2g(H-x)}-V \right ]\Delta t,

откуда

\displaystyle \Delta t\approx \frac{S\Delta x}{0,6s\sqrt{2g(H-x)-V}}=dt.

Интегрируя dt в пределах от x=0 до x=h, найдем искомое время T_{2}, за которое уровень воды в резервуаре изменится на h (м):

\displaystyle T_{2}=a\int_{0}^{h}\frac{dx}{\sqrt{H-x}-b},

где

\displaystyle a=\frac{S}{0,6s\sqrt{2g}},\; b=\frac{V}{0,6s\sqrt{2g}}.

Применяя подстановку \sqrt{H-x}=z получим dx=-2zdz;\: z_{1}=\sqrt{H} при x=0;\: z_{2}=\sqrt{H-h} при x=h;

\displaystyle T_{2}=a\int_{z_{1}}^{z_{2}}\frac{-2zdz}{z-b}=2a\int_{z_{2}}^{z_{1}}\left ( 1+\frac{b}{z-b} \right )dz=2a(z+b\ln \left | z-b \right |) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right| _{\sqrt{H-h}}^{\sqrt{H}}=2a\left ( \sqrt{H}-\sqrt{H-h}+b\ln \left | \frac{\sqrt{H}-b}{\sqrt{H-h}-b} \right | \right ).

Здесь изменение уровня воды в резервуаре может быть двояким. Если в начальный момент при h=0 скорость притока воды V будет меньше скорости ее убывания из резервуара 0,6s\sqrt{2gH}, то уровень воды будет понижаться до тех пор, пока эти скорости не станут одинаковыми. После этого вода будет оставаться на постоянном уровне, меньшем первоначального уровня H на величину h_{1} определяемую из уравнения 0,6s\sqrt{2g(H-h_{1})}=V.
Если же в начале процесса

0,6s\sqrt{2g(H+h_{2})}=V,

после чего уровень воды в резервуаре будет оставаться неизменным.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пятнадцать + 14 =