Производная сложной функции. Практикум по математическому анализу. Урок 28

Если $\displaystyle y=f(u)$, где $\displaystyle u=\varphi (x)$, т. е. если $y$ зависит от $x$ через посредство промежуточного аргумента $u$, то $y$ называется сложной функцией от $x$.
Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ или $\displaystyle y'=f'(u)\cdot u'(x)$.
Так, если $\displaystyle u=\varphi (x)$, то формулы 5, б, 7, 8 и 9 из предыдущего урока будут иметь следующий общий вид:
5) $\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}\cdot u';$
6) $\displaystyle (\sin u)'=\cos u\cdot u';$
7) $\displaystyle (\cos u)'=-\sin u\cdot u';$
8) $\displaystyle (tg\: u)'=\frac{1}{\cos ^{2}u}\cdot u';$
9) $\displaystyle (ctg\: u)'=-\frac{1}{\sin ^{2}u}\cdot u'.$
Полезно запомнить словесные выражения формул дифференцирования:

• производная степени равна показателю, умноженному на то же основание с показателем на единицу меньше, и на производную основания;
• производная синуса равна косинусу того же аргумента, умноженному на производную от аргумента.

Выразить словесно остальные формулы дифференцирования рекомендуется самостоятельно.
Напомним первые четыре формулы из предыдущего урока, которые пригодятся нам в дальнейшем:
1) $\displaystyle {(c)}'=0$
2) $\displaystyle {u+v-w}'={u}'+{v}'-{w}'$
3) $\displaystyle {uv}'={u}'v+{v}'u$
4) $\displaystyle {\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-{v}'u}{v^{2}}$
4a) $\displaystyle {\left ( \frac{u}{c} \right )}'=\frac{{u}'}{c}$
4б) $\displaystyle {\left ( \frac{c}{v} \right )}'=-\frac{c{v}'}{v^{2}}$


Пример 1. Найти производные следующих функций:
1) $\displaystyle y=(1+5x)^{3}$;
2) $\displaystyle y=\sin 5x$;
3) $\displaystyle y=\cos ^{2}x$;
4) $\displaystyle y=\sin x^{2}$;
5) $\displaystyle y=\sqrt[3]{2+x^{4}}.$
Решение. 1) Полагая $\displaystyle y=u^{3}$, где $\displaystyle u=1+5x$, и применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем:
$\displaystyle \frac{dy}{du}=3u^{2};\; \frac{du}{dx}=5;\; \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=3u^{2}\cdot 5=15(1+5x)^{2}.$
Легко проверить правильность этого результата: возведя в куб и дифференцируя полученный многочлен, приходим к тому же ответу.
2) Полагая $\displaystyle 5x=u$ и пользуясь формулами 6 и За, найдем
$\displaystyle y'=(\sin 5x)'=(\sin u)'=\cos u\cdot u'=5\cos 5x.$
3) Полагая $\displaystyle \cos x=u$ и применяя формулы 5 и 7, получим
$\displaystyle y'=(\cos ^{2}x)'=(u^{2})'=2u\cdot u'=2\cos x(-\sin x)=-\sin 2x.$
4) При $\displaystyle x^{2}=u$ по формулам 6 и 5 найдем
$\displaystyle (\sin x^{2})'=(\sin u)'=\cos u\cdot u'=2x\cos x^{2}.$
5) Полагаем $\displaystyle 2+x^{4}=u$, пользуясь формулой 5, имеем
$\displaystyle (\sqrt[3]{2+x^{4}})'=(\sqrt[3]{u})'=\left ( u^{\frac{1}{3}} \right )'=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}u'=\frac{1}{3}(2+x^{4})^{-\frac{2}{3}}\cdot 4x^{3}=\frac{4x^{3}}{3\sqrt[3]{(2+x^{4})^{2}}}.$
Дифференцирование этой сложной функции можно записать иначе:
$\displaystyle (\sqrt[3]{2+x^{4}})'=\left ( (2+x^{4})\frac{1}{3} \right )'=\frac{1}{3}(2+x^{4})^{-\frac{2}{3}}(2+x^{4})'=$
$=\frac{4x^{3}}{3\sqrt[3]{(2+x^{4})^{2}}}.$

Второй способ записи без особого обозначения промежуточного аргумента значительно проще. Этому способу записи и следует научиться при дифференцировании сложных функций.

Пример 2.
1) $\displaystyle z=(3ax-x^{2})^{k}$. Вычислить $z'$
2) $\displaystyle \beta =2\sqrt{\sin \frac{\alpha }{3}}$. Вычислить $\displaystyle \frac{d\beta }{d\alpha }$.
3) $\displaystyle s=\left ( \frac{t}{2t+1} \right )^{10}$. Вычислить $s'(-1)$.
4) $\displaystyle r=\sin ^{3}2\varphi -\cos ^{3}2\varphi$. Вычислить $\displaystyle r'\left ( \frac{\pi }{8} \right )$.
Решение. 1) Применяя формулы 5 и 2, найдем
$\displaystyle z'=k(3ax-x^{2})^{k-1}\cdot (3ax-x^{2})'=k(3a-2x)(3ax-x^{2})^{k-1}.$
2) Используем формулы 5 и 6:
$\displaystyle \beta '=2\cdot \frac{1}{2}\left ( \sin \frac{\alpha }{3} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( \sin \frac{\alpha }{3} \right )'=\left ( \sin \frac{\alpha }{3} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot \cos \frac{\alpha }{3}\cdot \left ( \frac{\alpha }{3} \right )'=\frac{\cos \frac{\alpha }{3}}{3\sqrt{\sin \frac{\alpha }{3}}}.$
3) Применяем формулы 5 и 4:
$\displaystyle s'=10\left ( \frac{t}{2t+1} \right )^{9}\cdot \frac{1\cdot (2t+1)-2\cdot t}{(2t+1)^{2}}=\frac{10t^{9}}{(2t+1)^{11}}.$
При $\displaystyle t=-1$ получим $\displaystyle s'(-1)=10$.
4) Сначала запишем данную функцию в виде
$\displaystyle r=(\sin 2\varphi )^{3}-(\cos 2\varphi )^{3}$,
что всегда полезно при дифференцировании степеней тригонометрических функций.
Пользуясь формулами 2, 5, 6 и 7, получим
$\displaystyle r'=3(\sin 2\varphi )^{2}(\sin 2\varphi)'-3(\cos 2\varphi )^{2}(\cos 2\varphi)'=2\sin^{2}2\varphi \cdot 2\cos 2\varphi -3\cos ^{2}2\varphi \cdot (-2\sin 2\varphi )=3\sin 4\varphi (\sin 2\varphi +\cos 2\varphi ).$
При $\displaystyle \varphi =\frac{\pi }{8}$ найдем
$\displaystyle r'\left ( \frac{\pi }{8} \right )=3\sin \frac{\pi }{2}\left ( \sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4} \right )=3\sqrt{2}.$