Производные показательной и логарифмической функций. Практикум по математическому анализу. Урок 29

Общие формулы производных показательной и логарифмической функций и их частные виды:

10) $\displaystyle (a^{u})'=a^{u}ln\: a\cdot u';$ 10а) $\displaystyle (e^{u})'=e^{u}\cdot u';$ 10б) $\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\cdot ln\: a;$ 10в) $\displaystyle (e^{x})'=e^{x};$

11) $\displaystyle (log_{a}\: u)'=\frac{u'}{u}\cdot log_{a}\: e;$ 11a) $\displaystyle (ln\: u)'=\frac{u'}{u};$ 11б) $\displaystyle (log_{a}\: x)'=\frac{1}{x}\cdot log_{a}\: e;$ 11в) $\displaystyle (ln\: x)'=\frac{1}{x}.$

Для дифференцирования логарифмической функции с основанием $\displaystyle a\neq e$ можно предварительно преобразовать ее в логарифмическую функцию с основанием $e$ по формуле

$$\displaystyle (log_{a}\: u)'=log_{a}\: e\cdot ln\: u.$$

Пример 1. Найти производные следующих функций:
1) $\displaystyle y=x^{3}\cdot 3^{x};$
2) $\displaystyle f(x)=\sqrt[x]{3}+\frac{1}{2^{5x}}+6^{\sqrt{x}}$, вычислить $\displaystyle f'(1)$.
3) $\displaystyle y=ln\: \cos 3x$;
4) $\displaystyle r=a^{\varphi }b^{\varphi }c^{\varphi }+\lg (5\varphi )-4\lg \sqrt{\varphi}$;
5) $\displaystyle y=\ln \frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}+x^{2}}$;
6) $\displaystyle y=\ln \sqrt{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}$, вычислить $\displaystyle y'(0)$.
Решение. 1) Дифференцируем как произведение и по формулам 5 и 106:
$\displaystyle y'=(x^{3})'3^{x}+x^{3}(3^{x})'=3x^{2}3^{x}+x^{2}3^{x}\ln 3=x^{2}3^{x}(3+x\ln 3).$
2) Вводим дробные и отрицательные показатели, затем дифференцируем как сумму и по формуле 10:
$\displaystyle f'(x)=\left ( 3^{\frac{1}{x}}+2^{-5x}+6^{x^{\frac{1}{2}}} \right )'=3^{\frac{1}{x}}\ln 3\cdot \left ( \frac{1}{x} \right )'+2^{-5x}\ln 2\cdot (-5x)'+6^{x^{\frac{1}{2}}}\ln 6\cdot (x^{\frac{1}{2}})'=$
$=-\frac{1}{x^{2}}3^{\frac{1}{x}}\ln 3-5\cdot 2^{-5x}\ln 2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}6^{x^{\frac{1}{2}}}\ln 6.$
Полагая $\displaystyle x=1$, найдем $\displaystyle f'(1)=-3\ln 3-\frac{5\ln 2}{32}+3\ln 6=\frac{91}{32}\ln 2.$
3) Согласно формулам 11a и 7a имеем
$\displaystyle y'=(\ln \cos 3x')=\frac{(\cos 3x)'}{\cos 3x}=\frac{-3\sin 3x}{\cos 3x}=-3tg\: 3x.$
4) Предварительно тождественно преобразуем данную функцию:
$\displaystyle r=(abc)^{\varphi }+\lg 5+\lg \varphi -4\cdot \frac{1}{2}\lg \varphi =(abc)^{\varphi }+\lg 5-\lg e\cdot \ln \varphi .$
Затем дифференцируем по формулам 10б и 11б:
$\displaystyle \frac{dr}{d\varphi }=(abc)^{\varphi }\ln (abc)-\frac{\lg e}{\varphi }.$
5) Чтобы упростить дифференцирование, сначала преобразуем логарифм дроби в разность логарифмов числителя и знаменателя:
$\displaystyle y=\ln \frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}+x^{2}}=\ln (a^{2}-x^{2})-\ln (a^{2}+x^{2}).$
Согласно формуле 11а найдем
$\displaystyle y'= \frac{(a^{2}-x^{2})'}{a^{2}-x^{2}}-\frac{(a^{2}+x^{2})'}{a^{2}+x^{2}}=\frac{-2x}{a^{2}-x^{2}}-\frac{2x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{4a^{2}x}{x^{4}-a^{4}}.$
Здесь, как и в предыдущем случае, на основании свойств логарифмов данная логарифмическая функция преобразована сначала к более удобному для дифференцирования виду.
И вообще, если под знаком подлежащей дифференцированию логарифмической функции содержится выражение, поддающееся логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), то полезно сначала выполнить логарифмирование.