Производные высших порядков. Практикум по математическому анализу. Урок 32

Если $\displaystyle y'$ есть производная от функции $\displaystyle y=f(x)$, то производная от $\displaystyle y'$ называется второй производной, или производной второго порядка от первоначальной функции $y$, и обозначается $\displaystyle y''$ или $\displaystyle f''(x)$, или $\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка:
- производная третьего порядка $\displaystyle (y'')'=y'''=f'''(x)=\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$;
- производная четвертого порядка $\displaystyle (y''')'=y^{(4)}=f^{(4)}(x)=\frac{d^{4}y}{dx^{4}}$;
- производная $n$-го порядка $\displaystyle (y^{(n-1)})'=y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$.
Для нахождения производной какого-либо высшего порядка от данной функции приходится последовательно находить все ее производные низших порядков.
Для произведения двух функций можно получить производную любого $n$-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:
$\displaystyle (uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v''+...+$
$+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v^{(k)}+...+nu'v^{(n-1)}+uv^{(n)}$.
Пример 1. Для данных функций найти производные указанного порядка:
1) $\displaystyle y=x^{5}-7x^{3}+2$. Найти $\displaystyle y'''$.
2) $\displaystyle y=\ln x$. Найти $\displaystyle y^{(5)}$.
3) $\displaystyle s=\textrm{arctg}\: 2x$. Найти $\displaystyle s''(-1)$.
4) $\displaystyle y=e^{-\varphi}\sin \varphi$; показать, что функция удовлетворяет уравнению $\displaystyle y''+2y'+2y=0$.
5) $\displaystyle y=e^{x}(x^{2}-1)$. Найти $\displaystyle y^{(24)}$.
6) $\displaystyle y=x^{m}$. Найти $\displaystyle y^{(k)}$.
Решение. 1) Дифференцируя функцию $y$, получим
$\displaystyle y'=5x^{4}-21x^{2}$.
Дифференцируя производную $\displaystyle y'$, получим
$\displaystyle (y')'=y''=20x^{3}-42x$.
Дифференцируя вторую производную $y''$, получим
$\displaystyle (y'')'=y'''=60x^{2}-42$.
2) $\displaystyle y'=(\ln x)'=\frac{1}{x}=x^{-1}.$
Для нахождения следующих производных здесь полезно ввести отрицательный показатель степени:
$\displaystyle y''=-x^{-2};\: y'''=2x^{-3};\: y^{(4)}=-6x^{-4};\: y^{(5)}=24x^{-5}=\frac{24}{x^{5}}$.
3) $\displaystyle s'=(\textrm{arctg}\:2x )'=\frac{(2x)'}{1+(2x)^{2}}=\frac{2}{1+4x^{2}};$
При $x=-1$ найдем $\displaystyle s''(-1)=\frac{16}{25}.$
4) Найдем $y'$ и $y''$:
$\displaystyle y'=(e^{-\varphi })'\sin \varphi +e^{-\varphi }(\sin \varphi )'=-e^{-\varphi }\sin \varphi +e^{-\varphi }\cos \varphi =e^{-\varphi }(\cos \varphi -\sin \varphi );$
$\displaystyle y''=-e^{-\varphi }(\cos \varphi -\sin \varphi )+e^{-\varphi }(-\sin \varphi -\cos \varphi )=-2e^{-\varphi }\cos \varphi$.
Подставляя $\displaystyle y,y',y''$ в данное уравнение, получим тождество:
$\displaystyle -2e^{-\varphi }\cos \varphi+2e^{-\varphi }(\cos \varphi -\sin \varphi )+2e^{-\varphi }\sin \varphi =0;\; 0=0.$
5) Применяя формулу Лейбница, получим
$\displaystyle y^{(24)}=\left [ e^{x}(x^{2}-1) \right ]^{(24)}=(e^{x})^{(24)}(x^{2}-1)+24(e^{x})^{(23)}(x^{2}-1)'+$ $+\frac{24\cdot 23}{2}(e^{x})^{(22)}(x^{2}-1)''.$
Все следующие слагаемые равны нулю, ибо все высшие производные от функции $\displaystyle x^{2}-1$, начиная с третьей, тождественно равны нулю
$\displaystyle y^{(24)}=e^{x}(x^{2}-1)+24e^{x}\cdot 2x+12\cdot 23e^{x}\cdot 2=e^{x}(x^{2}+48x+551)$
(так как производная любого порядка от $\displaystyle e^{x}$ есть $\displaystyle e^{x}$).
6) Дифференцируя $k$ раз, получим:
$\displaystyle y=x^{m};\: y'=mx^{m-1};\: y''=m(m-1)x^{m-2};...;y^{(k)}=m(m-1)...(m-k+1)x^{m-k}.$
В частности, если $m$ — целое положительное число, то
$\displaystyle y^{(m)}=m$! и $\displaystyle y^{(m+1)}=y^{(m+2)}=...=0.$