Прямая и плоскость в пространстве. Основные формулы

Основные понятия и формулы по теме "Прямая и плоскость в пространстве".
1. Угол между прямой

\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}


и плоскостью

Ax+By+Cz+D=0


определяется по формуле:

\sin \phi =\frac{\left|Am+Bn+Cp \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.\; \; \; (1)


2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

Am+Bn+Cp=0.\; \; \; (2)


3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}.


4. Если даны две плоскости A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 и A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 , то уравнение всякой плоскости, проходящей через ли­нию пересечения заданных плоскостей, имеет вид:

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}+\lambda \left( A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}\right)=0,\; \; (4)


где \lambda — переменный параметр.
Уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.
5. Условием, при котором две прямые

\frac{x-a_{1}}{m_{1}}=\frac{y-b_{1}}{n_{1}}=\frac{z-c_{1}}{p_{1}}


и

\frac{x-a_{2}}{m_{2}}=\frac{y-b_{2}}{n_{2}}=\frac{z-c_{2}}{p_{2}}


лежат в одной плоскости, является равенство

\begin{vmatrix} a_{2}-a_{1} & b_{2}-b_{1} & c_{2}-c_{1}\\ m_{1}&n_{1} &p_{1} \\ m_{2}&n_{2} &p_{2} \end{vmatrix}=0.\; \; \; (5)


Если условие (5) выполняется, то прямые лежат в одной плоско­сти, т. е. они или параллельны, если направляющие коэффициенты пропорциональны, или пересекаются, если направляющие коэффи­циенты не пропорциональны.
Если же условие (5) не выполняется, то прямые скрещиваются.
6. Условием, при котором прямая

\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}


лежит в плоскости Ax+By+Cz+D=0 , являются следующие ра­венства:

\left\{\begin{matrix} Am+Bn+Cp=0,\\ Aa+Bb+Cc+D=0. \end{matrix}\right.\; \; \; (6)



загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: