Прямая линия в пространстве. Основные формулы

1. Общие уравнения прямой.
Прямая линия в пространстве определяется как линия пересе­чения двух плоскостей. В этом случае она определяется системой двух уравнений первой степени:

\left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. \end{matrix}\right.\; \; \; (1)


Уравнения (1), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой (рис.1).
pr_pl_02

Рис.1

2. Уравнения прямой в двух проектирующих плоскостях.
Уравнения прямой в проекциях на координатные плоскости, например, на плоскости хОz и yOz имеют вид:


\left\{\begin{matrix} x=Mz+a,\\ y=Nz+b. \end{matrix}\right.\; \; \; \; (2)


Уравнения (2) можно также назвать уравнениями прямой в двух проектирующих плоскостях, первая из которых перпендикуляр­на плоскости xOz, вторая перпендикулярна плоскости yOz (рис.2).
pr_pl_04

Рис.2

3. Канонические уравнения прямой линии

\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}\; \; \; (3)


где а; Ь; с — координаты точки M_{0} , лежащей на прямой линии;
х; у; z — текущие координаты точек прямой;
m; n; p — направляющие коэффициенты, пропорциональные на­правляющим косинусам прямой:

m:n:p=\cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma .


Направляющие косинусы определяются по формулам:

\cos \alpha =\pm \frac{m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}},\; \cos \beta =\pm \frac{n}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}},\; (4)


\cos \gamma =\pm \frac{p}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.\; \;


В формулах (4) можно брать знак плюс или минус соответствен­но двум противоположным направлениям прямой.
4. Параметрические уравнения прямой линии.

\left\{\begin{matrix} x=mt+a,\\ y=nt+b,\\ z=pt+c, \end{matrix}\right.\; \; \; (5)


где а; Ь; с — координаты точки M_{0} , лежащей на прямой;
х; у; z — текущие координаты точек прямой;
m; n; p — направляющие коэффициенты; t — переменный параметр.
5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1}) и M_{2}(x_{2};y_{2};z_{2}) :

\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}.\; \; \; (6)


6. Векторное уравнение прямой линии

\vec{r}=\vec{r_{0}}+\vec{S}t,\; \; \; (7)


\vec{r}\left\{x,y,z \right\},\; \vec{r_{0}}\left\{a;b;c \right\} — радиусы-векторы точек M(x;y;z) и
M_{0}(a;b;c) на прямой;
\vec{S}\left\{m;n;p \right\} — направляющий вектор, параллельный данной прямой;
t — переменный параметр (рис.3).
pr_pl_06

Рис.3

Пусть прямая задана общими уравнениями

\left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. \end{matrix}\right.\; \; \; (1)


тогда за ее направляющий вектор \vec{S} можно принять векторное про­изведение \vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}} векторов \vec{n_{1}}(A_{1},B_{1},C_{1}) и \vec{n_{2}}(A_{2},B_{2},C_{2}) , так как каждый из них перпендикулярен этой прямой и, следовательно, век­тор \vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}} параллелен ей.
Таким образом, направляющий вектор прямой (1) определяется:

\vec{S}=\left[\vec{n_{1}} \vec{n_{2}}\right]=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ A_{1} & B_{1} & C_{1}\\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{vmatrix}.\; \; \; (8)


7. Угол между двумя прямыми
\frac{x-a_{1}}{m_{1}}=\frac{y-b_{1}}{n_{1}}=\frac{z-c_{1}}{p_{1}} и \frac{x-a_{2}}{m_{2}}=\frac{y-b_{2}}{n_{2}}=\frac{z-c_{2}}{p_{2}}
определяется по формуле

\cos \phi =\pm \frac{m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}}{\sqrt{m^{2}_{1}+n^{2}_{1}+p^{2}_{1}}\cdot \sqrt{m^{2}_{2}+n^{2}_{2}+p^{2}_{2}}}.\; \; (9)


В формуле (9) можно взять любой знак, что соответствует выбору одного из двух смежных углов между данными прямыми.
8. Условие параллельности двух прямых имеет вид:

\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.\; \; (10)


9. Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид:

m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}=0.\; \; \; (11)



загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: