1. Общие уравнения прямой.
Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей. В этом случае она определяется системой двух уравнений первой степени:
Уравнения (1), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой (рис.1).
Рис.1
2. Уравнения прямой в двух проектирующих плоскостях.
Уравнения прямой в проекциях на координатные плоскости, например, на плоскости хОz и yOz имеют вид:
Уравнения (2) можно также назвать уравнениями прямой в двух проектирующих плоскостях, первая из которых перпендикулярна плоскости xOz, вторая перпендикулярна плоскости yOz (рис.2).
Рис.2
3. Канонические уравнения прямой линии
где а; Ь; с — координаты точки , лежащей на прямой линии;
х; у; z — текущие координаты точек прямой;
m; n; p — направляющие коэффициенты, пропорциональные направляющим косинусам прямой:
Направляющие косинусы определяются по формулам:
В формулах (4) можно брать знак плюс или минус соответственно двум противоположным направлениям прямой.
4. Параметрические уравнения прямой линии.
где а; Ь; с — координаты точки , лежащей на прямой;
х; у; z — текущие координаты точек прямой;
m; n; p — направляющие коэффициенты; t — переменный параметр.
5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и :
6. Векторное уравнение прямой линии
— радиусы-векторы точек и
на прямой;
— направляющий вектор, параллельный данной прямой;
t — переменный параметр (рис.3).
Рис.3
Пусть прямая задана общими уравнениями
тогда за ее направляющий вектор можно принять векторное произведение векторов и , так как каждый из них перпендикулярен этой прямой и, следовательно, вектор параллелен ей.
Таким образом, направляющий вектор прямой (1) определяется:
7. Угол между двумя прямыми
и
определяется по формуле
В формуле (9) можно взять любой знак, что соответствует выбору одного из двух смежных углов между данными прямыми.
8. Условие параллельности двух прямых имеет вид:
9. Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид: