Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Основные формулы

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Основные формулы

Прямолинейной образующей поверхности называется прямая линия, целиком лежащая на данной поверхности. Например, прямолинейные образующие конической и цилиндри­ческой поверхности.
Однополостный гиперболоид (рис.1,2)

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$$

имеет два семейства прямолинейных образующих:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=k\left (1 +\frac{y}{b} \right ),\\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{k}\left (1 -\frac{y}{b} \right ) \end{matrix}\right.\; \; \; \; (1)$$

и

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{l}\left (1 -\frac{y}{b} \right ),\\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{l}\left (1 +\frac{y}{b} \right ), \end{matrix}\right.\; \; \; \; (2)$$

где k и l — произвольные параметры, не зависящие от х, у и z.
Каждая из систем (1) и (2) при определенных значениях k и l определяет прямую линию.
При произвольных k и l каждая система дает семейство прямых линий.

Гиперболический параболоид (рис.3)

$$\frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q}=2z$$

имеет также два семейства прямолинейных образующих:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{p}}+\frac{y}{\sqrt{q}}=2kz,\\ \frac{x}{\sqrt{p}}-\frac{y}{\sqrt{q}}=\frac{1}{k} \end{matrix}\right.\; \; \; (3)$$

и

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{p}}+\frac{y}{\sqrt{q}}=\frac{1}{l},\\ \frac{x}{\sqrt{p}}-\frac{y}{\sqrt{q}}=2lz, \end{matrix}\right.\; \; \; (4)$$

где k и l — произвольные параметры.