Задача №1. Сторона ромба равна 5 и высота 4,8. Через две противолежащие его вершины проходит эллипс, фокусы которого совпадают с двумя другими вершинами ромба. Составить уравнение эллипса, приняв диагонали ромба за оси координат.
Решение. Каноническое уравнение эллипса
Согласно условию BF = B'F' = 5, из треугольника BOF (рис.1) BF² = OF² + OB²,
но OF = c, ОВ = b,
следовательно, BF = a.
Таким образом, b² + с² = 25. Найдем площадь ромба: S = 5·4,8 = 24 (кв.ед.). Площадь треугольника BOF составляет четвертую часть площади ромба, т. е. SBOF = 6 кв.ед.
Но с другой стороны
откуда Ьс= 12.
Решим систему уравнений:
Следовательно, имеем два эллипса:
Задача №2. На эллипсе x²/36+y²/11=1 найти точки, расстояния которых от левого фокуса больше расстояний от правого фокуса в три раза.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Задача №3. Большая ось эллипса равна 12, а директрисами этого эллипса служат прямые х=±12. Найти уравнение эллипса. Чему равен его эксцентриситет?
Решение. Для составления уравнения эллипса необходимо знать его полуоси а и b. По условию 2а=12, а = 6.
Полуось b находим из соотношения b² = а² - с²; а с можно найти, использовав уравнения директрис эллипса
х = ± a²/c.
Взяв правую директрису, получим
откуда
Ь² = 36 - 9 = 27, b² = 27. Имеем уравнение эллипса
Эксцентриситет эллипса
Ответ: 
Задача №4. Расстояние между директрисами эллипса в два раза больше расстояния между его фокусами. Определить эксцентриситет эллипса.
Решение. Уравнения директрис эллипса 
Расстояние между фокусами 2с.
Согласно условию 2х = 4с, х = 2с; но 
имеем
но 
поэтому
Ответ: 
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео
Задача №5. Эллипс касается оси абсцисс в точке А(4; 0) и оси ординат в точке В(0;—3). Составить уравнение этого эллипса, если его оси симметрии параллельны осям координат (рис.2).
Решение. Уравнение эллипса будет иметь вид
Так как точки А и В являются точками касания эллипса к координатным осям, то а = 4, b = 3, а центр эллипса находится в точке С(4;—3).
Следовательно, уравнение эллипса будет:
Ответ:
Задача №6. Эллипс касается оси Оу в точке А (0; 5) и пересекает ось Ох в точках В(5;0) и С(11;0). Зная, что оси эллипса параллельны координатным осям, составить уравнение этого эллипса.
