Решение типовых задач по теме "Плоскость". Построение плоскости

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Часть 1
Задача №1. Построить плоскости, заданные уравнениями:
а) $5x+2y+3z-15=0,$ б)$3x+2y+3z-6=0,$ в)$3z-5=0,$
г) $x-4y+2z=0,$ д)$3x-z=0.$
Построение. а) Чтобы построить плоскость, не проходящую через начало координат, необходимо найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. От­резок, отсекаемый плоскостью на оси Ох, мы найдем, если в уравнении плоскости положим у=0 и z=0; тогда 5х—15=0, а=х=3; аналогично, если x=0 и z=0, то $b=y=7\frac{1}{2}$; если х = 0; y=0, то c=z=5.
Отложив на координатных осях отрезки а=3, b=7,5 и с=5, соединяем полученные точки М, N, Р прямыми линиями. Эти прямые — следы данной плоскости на ко­ординатных плоскостях (рис.1).

б)  Так как уравнение плоскости Зх+2y-6 0 не со­держит члена с координатой z (с=0), то плоскость па­раллельна оси Oz. Следовательно, плоскость отсекает на осях Ох и Оу отрезки а и b конечной величины, а на оси Oz — отрезок с бесконечно большой величины.
Найдем отрезки а и b вышеуказанным способом: а=2, b=3. Отложив эти отрезки на осях Ох и Оу, сое­динив их концы, получим след плоскости в плоскости хОу. Следы данной плоскости в координатных плоско­стях xOz и yOz будут параллельны оси Oz (рис.2).

в)  Так как в уравнении Зz-5=0 коэффициенты A=0 и В=0, то плоскость, одновременно параллельная оси Ох и оси Оу, параллельна плоскости хОу. Она отсекает на оси Oz отрезок с, равный $\frac{5}{3}$. Следы данной плоскости в координатных плоскостях хOz и yOz параллельны со­ответственно осям Ох и Оу (рис.3).

г) Плоскость, заданная уравнением $x-4y+2z=0$, проходит через начало координат, следовательно, она не отсекает отрезков на осях координат. Будем строить плоскость путем непосредственного нахождения следов плоскости на координатных плоскостях. Следами плоско­сти на координатных плоскостях являются прямые. Что­бы найти уравнения этих прямых, в уравнении плоскости будем последовательно полагать х=0, у=0, z=0. Полу­чим след плоскости на yOz:
х=0, — 4у+2z=0, или $\left\{\begin{matrix} 2y-z=0,\\ x=0; \end{matrix}\right.$
на xOz: $\left\{\begin{matrix} x+2z=0,\\ y=0; \end{matrix}\right.$
на хОу: $\left\{\begin{matrix} x-4y=0,\\ z=0. \end{matrix}\right.$
Строим полученные прямые в соответствующей коор­динатной плоскости.
Следом данной плоскости в плоскости yOz является прямая ОР; в плоскости xOz — прямая ON; в плоскости хОу — прямая OQ. Следы ОР и OQ —видимые, а след ON невидимый, так как его закрывает плоскость yOz (рис.4).

д) В уравнении 3x-z=0 коэффициент B=0 и свободный член D=0, следовательно, плоскость проходит через ось Оу.
Следом данной плоскости в плоскости xOz является прямая Зх-z=0 (прямая ОР). Следы в плоскостях хОу и yOz совпадают с осью Оу (рис.5).

Решение этой задачи также изложено в следующем видео: