Решение задач на формулу полной вероятности. Часть 3

Задача №1. В урну, содержащую 3 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все варианты предположений о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Рассмотрим следующие предположения о первоначальном составе шаров (гипотезы):
$B_{1}$ - в урне было 3 белых шара;
$B_{2}$ - в урне были 2 белых шара и 1 шар другого цвета;
$B_{3}$ - в урне были 1 белый шар и 2 шара другого цвета;
$B_{4}$ - в урне не было белых шаров.
Обозначим событие: $A$ - извлечен белый шар.
Гипотезы (i = 1; 2; 3; 4) составляют полную группу несовместных событий; сумма вероятностей этих событий равна единице: $\sum_{i=1}^{4}{P(B_{i})}=1$.
Поскольку имеется 4 гипотезы, причем по условию они равновероятны, то вероятность каждой гипотезы равна 1/4, т. е. $P(B_{i})=1/4$.
Событие $A$ может произойти только с одним из событий $B_{i}$. Так как в урну добавляют один белый шар, то условные вероятности события $A$ равны:

$$P_{B_{1}}(A)=\frac{4}{4}=1;\; P_{B_{2}}(A)=\frac{3}{4};\; P_{B_{3}}(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\; P_{B_{4}}(A)=\frac{1}{4}.$$

Искомую вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, найдем по формуле полной вероятности (1) при n = 4:

$$P(A)=P(B_{1}) \cdot P_{B_{1}}(A)+P(B_{2}) \cdot P_{B_{2}}(A)+P(B_{3}) \cdot P_{B_{3}}(A)+P(B_{4}) \cdot P_{B_{4}}(A)=$$

$$=\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{8}=0,625.$$

Задача №2. В трех урнах находятся белые и черные шары: в первой - 2 белых и 3 черных, во второй - 2 белых и 2 черных, в третьей - 3 белых и 1 черный. Из первой урны переложили шар во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью. Наконец, из третьей урны шар переложили в первую. Чему равна вероятность того, что состав шаров во всех урнах не изменился?
Решение. Испытание состоит в перекладывании шара из одной урны в другую. После трех испытаний состав шаров в урнах не изменится в том случае, если во всех испытаниях брать шар одного и того же цвета. Рассмотрим события:
$A$ - после трех испытаний состав шаров в урнах не изменился;
$B_{1}$ - из урны I в урну II переложен белый шар;
$B_{2}$ - из урны I в урну II переложен черный шар.
Вероятность гипотезы $B_{1}$ равна $P(B_{1})=2/5$, вероятность гипотезы $B_{2}$ равна $P(B_{2})=3/5$.
Возможны следующие два несовместные варианта наступления события $A$:
1) событие $A$ наступает вместе с событием $B_{1}$;
2) событие $A$ наступает вместе с событием $B_{2}$.
Рассмотрим первый вариант. После того, как из урны I взяли белый шар и положили в урну II, в урне II стало 3 белых и 2 черных шара. После того, как из урны II взяли белый шар и положили в урну III, в урне III стало 4 белых шара, и 1 черный шар. Событие $A$ произойдет, если совместно наступят два такие события:
$C_{1}$ - из урны II взят белый шар и положен в урну III;
$C_{2}$ - из урны III взят белый шар и положен в урну I.
Вероятность $P_{B_{1}}(A)$ найдем по теореме умножения вероятностей зависимых событий:

$$P_{B_{1}}(A)=P(C_{1})\cdot P_{C_{1}}(C_{2})=\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5}=\frac{12}{25}.$$

Рассмотрим второй вариант. После того, как из урны I взяли черный шар и положили в урну II, в урне II стало 2 белых и 3 черных шара. После того, как из урны II взяли черный шар и положили в урну III, в урне III стало 3 белых и 2 черных шара. Событие $A$ произойдет, если совместно наступят два такие события:
$D_{1}$ - из урны II взят черный шар и положен в урну III;
$D_{2}$ - из урны III взят черный шар и положен в урну I.
Вероятность $P_{B_{2}}(A)$ найдем по теореме умножения вероятностей зависимых событий:

$$P_{B_{2}}(A)=P(D_{1})\cdot P_{D_{1}}(D_{2})=\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{25}.$$

Вероятность события $A$ найдем по формуле (1):

$$P(A)=P(B_{1}) \cdot P_{B_{1}}(A)+P(B_{2}) \cdot P_{B_{2}}(A)=\frac{2}{5}\cdot \frac{12}{25}+\frac{3}{5}\cdot \frac{6}{25}=\frac{42}{125}=0,336.$$