Решение задач на классическое определение вероятности. Часть 4

Задача №1. Лифт в пятиэтажном доме отправляется вверх с первого этажа с тремя пассажирами. Найти вероятность того, что на каяодом этаже выйдет не более одного пассажира, предполагая, что все возможные способы рас­пределения пассажиров по этажам равновероятны.
Решение. Обозначим событие: С - на каждом этаже выйдет не более одного пассажира.
Найдем вероятность события С, применив классическое определение вероятности.
Каждый пассажир имеет четыре возможности для выхода из лифта (на втором, третьем, четвертом, пятом этажах). Следовательно, для двух пас­сажиров имеется $4\cdot 4=4^{2}$ возможностей выйти из лифта (каждая возмож­ность выхода пертого пассажира может сочетаться с каждой возможностью выхода второго), для трех пассажиров - $4^{3}$ возможностей. Следовательно, общее число возможных исходов испытания равно $n=4^{3}$.
По условию, на каждом этаже должно выйти не более одного пассажи­ра. Из этого следует, что первый пассажир может выйти на каждом из че­тырех этажей, а для второго остаются возможности выйти на каждом из трех оставшихся этажей, для третьего - на каждом из двух остальных этажей. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих со­бытию С, равно $m=4\cdot 3\cdot 2$.
Вероятность события С равна $P(C)=\frac{m}{n}=\frac{4\cdot 3\cdot 2}{4^{3}}=\frac{3}{8}.$


Задача №2. Группа из 11 человек, в том числе Иванов и Петров, располагается за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятностъ того, что ме­жду Ивановым и Петровым будут сидеть 3 человека.
Решение. Обозначим событие: А - между Ивановым и Петровым за столом будут сидеть 3 человека.
Найдем вероятность события А, применив формулу (1). Числа m и n, входящие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 11 элементов - 11 человек. В образовании раз­личных соединений (то есть в распределении людей за столом) участвуют все 11 элементов, различные соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения представляют собой перестановки из 11 элементов. Таким образом, общее число исходов испытания $n=P_{11}$.По формуле (2) найдем $P_{11}=11!.$.
Если места Иванова и Петрова зафиксированы, например, места 1 и 5, а между ними должно сесть 3 человека, то число различных способов раз­местить людей на остальные 9 мест равно $P_{9}=9!.$ Общее число способов, благоприятствующих событию в 11 раз больше, т. е. равно $m=11\cdot 9!,$ поскольку имеется 11 различных способов посадить Иванова и Петрова так, чтобы между ними было 3 человека (Иванова и Петрова можно поса­дить на места 1 и 5, или 2 и 6, или З и 7 и т.д. до мест 11 и 4).
Вероятность события А равна $P(A)=\frac{11\cdot 9!}{11!}=\frac{1}{10}$, то есть не зависит от числа человек, которые будут сидеть между Ивановым и Петровым.


Задача №3. Какова вероятность того, что в трехзначном числе, наудачу вы­бранном из таблицы случайных чисел.
а) все цифры одинаковые;
б) coдqpжитcя одна цифра 5, а две другие - различные, причем среди них них нет цифры О?
Решение. Рассмотрим события:
А - в наудачу выбранном трехзначном числе все цифры одинаковые;
B - в наудачу выбранном трехзначном числе имеется одна цифра 5, а две другие - различные и среди них нет цифры 0.
Найдем вероятности событий А и В, применив формулу (1).
а) Имеется 900 трехзначных чисел (от 100 до 999) и 9 трехзначных чи­сел, составленных из одинаковых цифр (это числа 111, 222,... , 999), по­этому общее число исходов испытания равно n=900, а число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно m=9. Вероятность события А равна

$$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{9}{900}=0,01$$

б) Имеется 900 трехзначных чисел, поэтому при определении вероятности события в общее число исходов испытания n=900. Найдем число m исходов испытания, благоприятствующих событию В. Варианты, бла­гоприятствующие событию В, схематически представлены на рис.1.

Цифра 5 в трехзначном числе может занимать одно из трех возмож­ных мест. В исходах испытания, относящихся к вариантам первого, второ­го и третьего видов, цифра 5 стоит соответственно на первом, втором и третьем местах. В вариантах первого вида два свободные места могут быть заняты какими-либо двумя цифрами из оставшихся 8-ми (по условию цифра 0 исключается). Число благоприятных способов, которыми могут быть заняты эти два места, равно $A_{8}^{2}$ - числу размещений из 8-ми элементов по два, так как в каждое соединение входит 2 элемента из восьми имеющихся и соединения отличаются друг от друга как самими элемента­ми, так и их порядком (порядок элементов важен). Применив формулу (3), вычислим: $A_{8}^{2}=8\cdot 7=56.$ В каждом из вариантов второго и третьего ви­дов число благоприятных способов, которыми могут быть заняты свободные два места, также равно $A_{8}^{2}$.
Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию В, равно $m=3\cdot A_{8}^{2}=3\cdot 56=168.$
Вероятность события B равна $P(B)=\frac{m}{n}=\frac{168}{900}\approx 0,1867.$