Задача №1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 5 денежных и 20 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша на один билет?
Решение. Рассмотрим события:
- вещевой выигрыш по одному билету;
- денежный выигрыш по одному билету;
- любой выигрыш по одному билету.
и - несовместные события. Событие А состоит в том, что произойдет или событие , или событие (безразлично, какое); это означает, что событие А является суммой событий и : . Найдем вероятности событий и , применив формулу (1):
Вероятность события А найдем по теореме сложения вероятностей несовместных событий. Согласно формуле (8) искомая вероятность равна
Задача №2. За ответ на экзамене ученик может получить одну из следующих оценок: 5, 4, 3, 2. Вероятность того, что ученик получит оценку 5, равна 0,3; оценку 4 - 0,4; оценку 3 - 0,2 и оценку 2 - 0,1. Какие из названных событий составляют полную группу несовместных событий? Какое событие противоположно событию: «ученик получит оценку 5» и какова вероятность этого события?
Решение. Рассмотрим события: - Ученик получит, соответственно, оценку: 5,4,3,2;
А - ученик получит какую-то из этих оценок: или 5, или 4, или 3, или 2.
Вероятности событий равны:
- несовместные события, составляющие полную группу. Событие А представляет собой сумму этих событий:, Событие А - достоверное;
Событию - ученик получит оценку 5, противоположно событие - ученик не получит оценку 5. По формуле (11) найдем:
Задача №3. Контрольная работа по математике оценивается целым числом баллов, причем наибольшее число баллов равно 10. Вероятность получить студенту N за эту работу 10 баллов равна 0,2; 9 баллов - 0,3 и от 1 до 9 баллов включительно - 0,7. Найти вероятность того, что студент N получит
а) не менее 9 баллов,
б) ноль баллов.
Решение. Рассмотрим события: - студент получит, соответственно: 10 баллов; 9 баллов; от 1 до 9 баллов включительно;
А - студент получит не менее 9 баллов;
В - студент получит 0 баллов.
Вероятности событий равны:
Обратим внимание на то, что и - совместные события. В этой задаче и далее будем находить суммы только несовместных событий и применять теорему сложения вероятностей только для таких событий.
а) Событие А состоит в том, что студент получит или 9, или 10 баллов; это означает, что А является суммой событий и . События и - несовместные; .
Найдем вероятность события А, воспользовавшись формулой (8):
б) Рассмотрим событие , противоположное событию :
- студент не получит 0 баллов.
Событие состоит в том, что студент получит или 10 баллов, или от 1 до 9 баллов включительно. Это означает, что является суммой двух несовместных событий и : .
Найдем вероятность события , применив формулу (8):
Вероятность события В найдем по формуле (11):