Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 2

Задача №1. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10% - у второго, 15% - у третьего, 25% - у четвертого, 30% - у пятого станка. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится:
а) у второго или четвертого станка;
б) у первого, или второго, или третьего станка;
в) не у пятого станка.
Решение. Рассмотрим события: $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ - в наудачу выбранный момент времени мастер находится соответственно у первого, у второго, у третьего, у четвертого, у пятого станка.
Рассмотрим также события $A,B,C$, состоящие в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится соответственно:
А - у второго или четвертого станка;
В - у первого, второго или третьего станка;
С - не у пятого станка.
Вероятности событий $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ согласно формуле (1), равны: $P(A_{1})=0,2;\; P(A_{2})=0,1;\; P(A_{3})=0,15;\; P(A_{4})=0,25;\; P(A_{5})=0,3.$
$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ - несовместные события, составляющие полную группу.
а) Событие А равно сумме несовместных событий $A_{2}$ и $A_{4}$: $A=A_{2}+A_{4}$. Вероятность события А найдем по формуле (8):

$$P(A)=P(A_{2}+A_{4})=P(A_{2})+P(A_{4})=0,1+0,25=0,35.$$

б) Событие В состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится или у первого, или у второго, или у третьего станка (безразлично, у какого из этих трех указанных). Это означает, что В представляет собой сумму трех несовместных событий $A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$: $B=A_{1}+A_{2}+A_{3}$.
Вероятность события B найдем по формуле (9):

$$P(B)=P(A_{1}+A_{2}+A_{3})=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})=0,2+0,1+0,15=0,45.$$

в) Событие С противоположно событию $A_{5}$: $C=\bar{A_{5}}$.
Вероятность события $C=\bar{A_{5}}$ найдем по формуле (11):

$$P(C)=P(\bar{A_{5}})=1-P(A_{5})=1-0,3=0,7.$$

Задача №2. При определении гранулометрического состава почв было выявлено, что среди 12 образцов имеются 3 образца супесчаной, 4 - глинистой и 5 образцов суглинистой почвы. Найти вероятность того, что два определенных образца (например, помеченные номерами 1 и 2) при классификации по гранулометрическому составу могут быть отнесены к одной и той же группе.
Решение. Пусть взяли 2 определенных образца из 12 имеющихся. Рассмотрим события:
$A_{1}$ - взяли 2 образца супесчаной почвы;
$A_{2}$ - взяли 2 образца глинистой почвы;
$A_{3}$ - взяли 2 образца суглинистой почвы;
$A$ - взяли 2 образца, которые могут быть отнесены к одной и той же группе гранулометрического состава.
$A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$ - несовместные события. Событие А наступит, если образцы будут или оба супесчаные, или оба глинистые, или оба суглинистые. Это означает, что событие А является суммой трех несовместных событий $A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$: $A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$.
Вероятность события А найдем по теореме сложения вероятностей нескольких несовместных событий, в соответствии с формулой (9) при n = 3 получим:

$$P(A)=P(A_{1}+A_{2}+A_{3})=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3}).$$

Каждое из слагаемых $P(A_{1}),P(A_{2}),P(A_{3})$ найдем по формуле (1):

$$P(A_{1})=\frac{m_{1}}{n},\; P(A_{2})=\frac{m_{2}}{n},\; P(A_{3})=\frac{m_{3}}{n}.$$

Числа $n,m_{1},m_{2},m_{3}$ определим по формулам теории соединений.
Всего имеется 12 образцов - 12 элементов. В каждое соединение входят 2 элемента, соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не играет. Следовательно, рассматриваемые соединения представляют собой сочетания. Найдем $n,m_{1},m_{2},m_{3}$, применяя формулу (4):

$$n=C_{12}^{2}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=66,\; m_{1}=C_{3}^{2}=3,\; m_{2}=C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6,\; m_{3}=C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=10.$$

Вероятности событий $A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$ равны:

$$P(A_{1})=\frac{C_{3}^{2}}{C_{12}^{2}};\; P(A_{2})=\frac{C_{4}^{2}}{C_{12}^{2}};\;P(A_{3})=\frac{C_{5}^{2}}{C_{12}^{2}}.$$

Вероятность события А равна

$$P(A)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{12}^{2}}+\frac{C_{4}^{2}}{C_{12}^{2}}+\frac{C_{5}^{2}}{C_{12}^{2}}=$$

$$=\frac{C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2}}{C_{12}^{2}}=\frac{3+6+10}{66}=\frac{19}{66}\approx 0,2879.$$