Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 3

Задача №1. Имеются 14 таблиц, содержащих данные о влажности на различной глубине тяжелосуглинистой черноземной почвы. В шести из этих таблиц приведены данные, полученные методом горячей сушки образцов при 105° С, а в остальных - методом холодной сушки над P_{2}O_{5} . Какова вероятность того, что среди трех случайным образом отобранных таблиц хотя бы одна таблица содержит данные, полученные методом горячей сушки?


Решение. Отнесем таблицы, содержащие данные, полученные методом горячей сушки, к группе 1, а методом холодной сушки - к группе 2.
Первый способ. Известно, что случайным образом отобраны З таблицы. Рассмотрим события:
В - отобраны одна таблица группы 1 и две таблицы группы 2;
С - отобраны две таблицы группы 1 и одна таблица группы 1;
D - отобраны три таблицы группы 1;
А - отобрана хотя бы одна таблица группы 1.
События B, С и D несовместны. Событие А наступит, если среди трех отобранных таблиц будут находиться или одна, или две, или три таблицы группы 1. Это означает, что событие А является суммой трех несовместных событий В, С и D: A=B+C+D.
Найдем вероятность события А, применив теорему сложения вероятностей несовместных событий. Воспользовавшись формулой (9), получим:

P(A)=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D).\; \; \; (*)


Вероятности событий B, С и D равны:

P(B)=\frac{C_{6}^{1}\cdot C_{8}^{2}}{C_{14}^{3}}=\frac{42}{91},\; P(C)=\frac{C_{6}^{2}\cdot C_{8}^{1}}{C_{14}^{3}}=\frac{30}{91},\; P(D)=\frac{C_{6}^{3}}{C_{14}^{3}}=\frac{5}{91}.


Подставив эти значения в равенство (*), получим

P(A)=\frac{42}{91}+\frac{30}{91}+\frac{5}{91}=\frac{11}{13}.


Второй способ. Рассмотрим события:
A - отобрана хотя бы одна таблица группы 1;
\bar{A} - не отобрано ни одной таблицы группы 1, то есть отобрано три таблицы группы 2.
A и \bar{A} - противоположные события, поэтому P(A)=1-P(\bar{A}) .
Вероятность события \bar{A} равна

P(A)=\frac{C_{8}^{3}}{C_{14}^{3}}=\frac{2}{13}.


Искомая вероятность

P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{2}{13}=\frac{11}{13}.


Замечание. Сравнив оба способа решения задачи, видим, что второй способ является более рациональным.
Если в задаче требуется найти вероятность события A - "получение хотя бы одного нужного результата", то целесообразно вначале рассмотреть противоположное ему событие. Событию A противоположно событию \bar{A} - "не получение ни одного нужного результата". Вычислив P(\bar{A}) , найдем затем вероятность P(A) так: P(A)=1-P(\bar{A}) .

Задача №2. В отделе зеленого чеpeнкoвaния плодовой опытной станции для посадки в теплице подготовили 20 зеленых черенков, среди которых 8 черенков зимостойкой алычи сорта 9-114, а остальные - черенки сливы сорта Евразия 21. Случайным образом отобрано 3 черенка. Найти вероятность того, что хотя бы один из них является черенком алычи.
Решение. Эта задача такого же типа, как задача 1. Для ее рационального решения рекомендуем применить способ, рассмотренный в задаче 1 вторым.
Рассмотрим события:
A - отобран хотя бы один черенок алычи;
\bar{A} - не отобрано ни одного черенка алычи.

Вероятность события \bar{A} равна

P(\bar{A})=\frac{C_{12}^{3}}{C_{20}^{3}}=\frac{11}{57}.


Событие \bar{A} противоположно событию A , поэтому, Согласно формуле (11), искомая вероятность равна

P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{11}{57}=\frac{46}{57}\approx 0,8070.

Задача №3. В кейсе находятся 20 кассет с записями музыки в стиле диско и 10 - в стиле техно. Диджей наудачу берет одну за другой две кассеты. Какова вероятность того, что
1) на первой кассете записана музыка в стиле диско;
2) на второй кассете также записана музыка в стиле диско.
Рассмотреть два случая: перед тем, как взять вторую кассету, диджей
а) возвращает в кейс первую кассету;
б) первую кассету в кейс не возвращает.
Решение. Рассмотрим события:
A - на первой кассете записана музыка в стиле диско;
B - на второй кассете записана музыка в стиле диско.
1) Найдем вероятность события A , воспользовавшись классическим определением вероятности. Общее число исходов испытания n = 30; число исходов испытания, благоприятствующих событию A , равно m = 20; искомая вероятность P(A)=\frac{m}{n}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}.

2, а) Событие B является независимым от события A , так как появление или непоявление события A не изменяет вероятности наступления события B . Число исходов испытания, благоприятствующих событию B , равно m_{1}=20 ; общее число исходов испытания n=30 ; следовательно, P(B)=\frac{m_{1}}{n}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}.
2, б) Событие B является зависимым от события A , так как появление или непоявление события A изменяет вероятность наступления события B . Требуется найти вероятность события B при условии, что и на кассете, взятой из кейса первой, записана музыка в стиле диско, то есть найти P_{A}(B) - условную вероятность события B , вычисленную при условии, что событие A произошло. Так как кассета, взятая первой, назад в кейс не возвращается, то число исходов испытания, благоприятствующих событию B , равно m_{2}=19 , а общее число исходов испытания равно n_{1}=29 . Искомая условная вероятность P_{A}(B)=\frac{m_{2}}{n_{1}}=\frac{19}{29}.
Задача №4. Используя исходные данные предыдущей задачи, найти вероятность того, что на двух наудачу взятых друг за другом кассетах записана музыка в стиле диско. Рассмотреть два случая: диджей, перед тем, как взять вторую кассету,
а) возвращает в кейс первую кассету;
б) не возвращает в кейс первую кассету.
Решение. Рассмотрим события:
А - на первой кассете записана музыка в стиле диско;
Б - на второй кассете записана музыка в стиле диско;
С - на двух взятых друг за другом кассетах записана музыка в стиле диско.
Событие С состоит в том, что и на первой, и на второй взятых из кейса кассетах записана музыка в стиле диско. Это означает, что событие С является произведением событий А и В: С=АВ.
Найдем вероятность события С, применив теорему умножения вероятностей.
а) A и В - независимые события. По формуле (13) получим

P(C)=P(AB)=P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}\approx 0,4444.


б) Событие B является зависимым от события А. По формуле (12) найдем

P(C)=P(AB)=P(A)\cdot P_{A}(B)=\frac{20}{30}\cdot \frac{19}{29}\approx 0,4368.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: