Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 4

Задача №1. Случайно смешаны кусты рассады двух сортов томатов: 9 кустов рассады сорта Белый налив и 7 - сорта Верлиока. Найти вероятность того, что первые три, посаженные друг за другом куста томатов, являются рассадой сорта Белый налив.
Решение. Испытание состоит в посадке одного куста рассады томата. Рассмотрим события:
$A_{1}$ - куст, посаженный первым, - рассада томата сорта Белый налив;
$A_{2}$ - куст, посаженный вторым, - рассада томата сорта Белый налив;
$A_{3}$ - куст, посаженный третьим, - рассада томата сорта Белый налив;
$A$ - все три посаженные друг за другом куста являются рассадой томата сорта Белый налив.
Событие А состоит в том, что и первый, и второй, и третий кусты - рассада томата сорта Белый налив. Это означает, что событие А является произведением событий $A_{1},A_{2},A_{3}$: $A=A_{1}\cdot A_{2}\cdot A_{3}.$
Найдем вероятность события А по теореме умножения вероятностей. События $A_{1},A_{2},A_{3}$ - зависимые, так как вероятность каждого последующего события (начиная со второго) изменяется в зависимости от того, произойдет или не произойдет предыдущее событие. По формуле (1) получим, что вероятность события $A_{1}$ равна $P(A_{1})=\frac{9}{16}$. Условная вероятность события $A_{2}$, вычисленная при условии, что событие $A_{1}$ произошло, равна $P_{A_{1}}(A_{2})=\frac{8}{15}$. Условная вероятность события $A_{3}$, вычисленная при условии, что произошли предыдущие два события, т. е. произошли и событие $A_{1}$, и событие $A_{2}$ равна $P_{A_{1}A_{2}}(A_{3})=\frac{7}{14}$. В соответствии с формулой (14) при n=3 получим:

$$P(C)=P(A_{1}A_{2}A_{3})=P(A_{1})P_{A_{1}}(A_{2})P_{A_{1}A_{2}}(A_{3})=\frac{9}{16}\cdot \frac{8}{15}\cdot \frac{7}{14}=0,15.$$

Задача №2. Слово МАШИНА составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу друг за другом извлекают четыре буквы и выкладывают последовательно в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ШИНА?
Решение. Испытание состоит в извлечении одной буквы. Рассмотрим события:
$B_{1}$ - первoй извлечена буква Ш;
$B_{2}$ - второй извлечена буква И;
$B_{3}$ - третьей извлечена буква Н;
$B_{4}$ - четвертой извлечена буква А;
$B$ - при произвольном извлечении четырех букв получится слово ШИНА.
Событие $B$ состоит в том, что последовательно будут извлечены 4 нужные буквы: и буква Ш, и буква И, и буква Н, и буква А. Это означает, что событие $B$ является произведением событий $B_{1},B_{2},B_{3}$ и $B_{4}$: $B=B_{1}\cdot B_{2}\cdot B_{3}\cdot B_{4}$.
Найдем вероятность события $B$, применив теорему умножения вероятностей. $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ - зависимые события, так как наступление (или ненаступление) каждого предьщущего события изменяет вероятность наступления последующего. Найдем вероятность события $B_{1}$ и условные вероятности событий $B_{2},B_{3}$ и $B_{4}$ условиях, что наступят предыдущие им события. В данной задаче наступление предыдущих событий изменяет только общее число исходов испытаний для последующих событий. Число исходов испытаний, благоприятствующих событиям $B_{1},B_{2}$ и $B_{3}$ равно 1, так как в слове МАШИНА имеется по одной из нужных букв Ш, И и Н. Число исходов испытания, благоприятствующих событию $B_{4}$, равно 2, так как в слове МАШИНА имеются две буквы А, и в трех предыдущих испытаниях буква А не должна быть извлечена. Согласно формуле (14) получим

$$P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{180}.$$

Задача №3. В урне 4 белых, б черных и 5 красных шаров. Из нее извлекают наугад один за другим два шара. Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.
Решение. Рассмотрим события:
$A_{1}$ - первым извлечен белый шар;
$B_{1}$ - вторым извлечен белый шар;
$A_{2}$ - первым извлечен черный шар;
$B_{2}$ - вторым извлечен черный шар;
$A_{3}$ - первым извлечен красный шар;
$B_{3}$ - вторым извлечен красный шар;
$C$ - извлечены два шара одного цвета.
Событие $C$ представляет собой сумму следующих несовместных событий:
$C_{1}$ - извлечены два белых шара;
$C_{2}$ — извлечены два черных шара;
$C_{3}$ - извлечены два красных шара.
Таким образом, $C=C_{1}+C_{2}+C_{3}.$
Событие $C_{1}$ заключается в том, что и первый, и второй, извлеченные из урны шара, являются белыми. Это означает, что событие $C_{1}$ представляет собой произведение событий $A_{1}$ и $B_{1}$: $C_{1}=A_{1}\cdot B_{1}$. Аналогично получим, что $C_{2}=A_{2}\cdot B_{2}$ и $C_{3}=A_{3}\cdot B_{3}$.
Вероятности событий $C_{1}$, $C_{2}$ и $C_{3}$ найдем по теореме умножения вероятностей.
Событие $B_{1}$ является зависимым от события $A_{1}$, так как его вероятность изменяется при наступлении события $A_{1}$. Используя классическое определение вероятности, получим, что вероятность события $A_{1}$ равна $P(A_{1})=\frac{4}{15}.$ Условная вероятность события $B_{1}$, вычисленная при условии, что событие $A_{1}$ произошло, равна $P_{A_{1}}(B_{1})=\frac{3}{14}.$ Согласно формуле (12) получим:

$$P(C_{1})=P(A_{1}\cdot B_{1})=P(A_{1})\cdot P_{A_{1}}(B_{1})=\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{14}=\frac{2}{35}.$$

Рассуждая аналогично, найдем

$$P(C_{2})=P(A_{2}\cdot B_{2})=P(A_{2})\cdot P_{A_{2}}(B_{2})=\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}=\frac{1}{7}.$$

$$P(C_{3})=P(A_{3}\cdot B_{3})=P(A_{3})\cdot P_{A_{3}}(B_{3})=\frac{5}{15}\cdot \frac{4}{14}=\frac{2}{21}.$$

Вычислив $P(C_{1})$, $P(C_{2})$ и $P(C_{3})$, найдем искомую вероятность $P(C)$ по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

$$P(C)=P(C_{1})+P(C_{2})+P(C_{3})=\frac{2}{35}+\frac{1}{7}+\frac{2}{21}=\frac{31}{105}\approx 0,2952.$$