Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 4

Задача №1. Случайно смешаны кусты рассады двух сортов томатов: 9 кустов рассады сорта Белый налив и 7 - сорта Верлиока. Найти вероятность того, что первые три, посаженные друг за другом куста томатов, являются рассадой сорта Белый налив.
Решение. Испытание состоит в посадке одного куста рассады томата. Рассмотрим события:
A_{1} - куст, посаженный первым, - рассада томата сорта Белый налив;
A_{2} - куст, посаженный вторым, - рассада томата сорта Белый налив;
A_{3} - куст, посаженный третьим, - рассада томата сорта Белый налив;
A - все три посаженные друг за другом куста являются рассадой томата сорта Белый налив.


Событие А состоит в том, что и первый, и второй, и третий кусты - рассада томата сорта Белый налив. Это означает, что событие А является произведением событий A_{1},A_{2},A_{3} : A=A_{1}\cdot A_{2}\cdot A_{3}.
Найдем вероятность события А по теореме умножения вероятностей. События A_{1},A_{2},A_{3} - зависимые, так как вероятность каждого последующего события (начиная со второго) изменяется в зависимости от того, произойдет или не произойдет предыдущее событие. По формуле (1) получим, что вероятность события A_{1} равна P(A_{1})=\frac{9}{16} . Условная вероятность события A_{2} , вычисленная при условии, что событие A_{1} произошло, равна P_{A_{1}}(A_{2})=\frac{8}{15} . Условная вероятность события A_{3} , вычисленная при условии, что произошли предыдущие два события, т. е. произошли и событие A_{1} , и событие A_{2} равна P_{A_{1}A_{2}}(A_{3})=\frac{7}{14} . В соответствии с формулой (14) при n=3 получим:

P(C)=P(A_{1}A_{2}A_{3})=P(A_{1})P_{A_{1}}(A_{2})P_{A_{1}A_{2}}(A_{3})=\frac{9}{16}\cdot \frac{8}{15}\cdot \frac{7}{14}=0,15.


Задача №2. Слово МАШИНА составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу друг за другом извлекают четыре буквы и выкладывают последовательно в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ШИНА?
Решение. Испытание состоит в извлечении одной буквы. Рассмотрим события:
B_{1} - первoй извлечена буква Ш;
B_{2} - второй извлечена буква И;
B_{3} - третьей извлечена буква Н;
B_{4} - четвертой извлечена буква А;
B - при произвольном извлечении четырех букв получится слово ШИНА.
Событие B состоит в том, что последовательно будут извлечены 4 нужные буквы: и буква Ш, и буква И, и буква Н, и буква А. Это означает, что событие B является произведением событий B_{1},B_{2},B_{3} и B_{4} : B=B_{1}\cdot B_{2}\cdot B_{3}\cdot B_{4} .
Найдем вероятность события B , применив теорему умножения вероятностей. B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4} - зависимые события, так как наступление (или ненаступление) каждого предьщущего события изменяет вероятность наступления последующего. Найдем вероятность события B_{1} и условные вероятности событий B_{2},B_{3} и B_{4} условиях, что наступят предыдущие им события. В данной задаче наступление предыдущих событий изменяет только общее число исходов испытаний для последующих событий. Число исходов испытаний, благоприятствующих событиям B_{1},B_{2} и B_{3} равно 1, так как в слове МАШИНА имеется по одной из нужных букв Ш, И и Н. Число исходов испытания, благоприятствующих событию B_{4} , равно 2, так как в слове МАШИНА имеются две буквы А, и в трех предыдущих испытаниях буква А не должна быть извлечена. Согласно формуле (14) получим

P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{180}.

Задача №3. В урне 4 белых, б черных и 5 красных шаров. Из нее извлекают наугад один за другим два шара. Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.
Решение. Рассмотрим события:

A_{1} - первым извлечен белый шар;
B_{1} - вторым извлечен белый шар;
A_{2} - первым извлечен черный шар;
B_{2} - вторым извлечен черный шар;
A_{3} - первым извлечен красный шар;
B_{3} - вторым извлечен красный шар;
C - извлечены два шара одного цвета.
Событие C представляет собой сумму следующих несовместных событий:
C_{1} - извлечены два белых шара;
C_{2} — извлечены два черных шара;
C_{3} - извлечены два красных шара.
Таким образом, C=C_{1}+C_{2}+C_{3}.
Событие C_{1} заключается в том, что и первый, и второй, извлеченные из урны шара, являются белыми. Это означает, что событие C_{1} представляет собой произведение событий A_{1} и B_{1} : C_{1}=A_{1}\cdot B_{1} . Аналогично получим, что C_{2}=A_{2}\cdot B_{2} и C_{3}=A_{3}\cdot B_{3} .
Вероятности событий C_{1} , C_{2} и C_{3} найдем по теореме умножения вероятностей.
Событие B_{1} является зависимым от события A_{1} , так как его вероятность изменяется при наступлении события A_{1} . Используя классическое определение вероятности, получим, что вероятность события A_{1} равна P(A_{1})=\frac{4}{15}. Условная вероятность события B_{1} , вычисленная при условии, что событие A_{1} произошло, равна P_{A_{1}}(B_{1})=\frac{3}{14}. Согласно формуле (12) получим:

P(C_{1})=P(A_{1}\cdot B_{1})=P(A_{1})\cdot P_{A_{1}}(B_{1})=\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{14}=\frac{2}{35}.


Рассуждая аналогично, найдем

P(C_{2})=P(A_{2}\cdot B_{2})=P(A_{2})\cdot P_{A_{2}}(B_{2})=\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}=\frac{1}{7}.


P(C_{3})=P(A_{3}\cdot B_{3})=P(A_{3})\cdot P_{A_{3}}(B_{3})=\frac{5}{15}\cdot \frac{4}{14}=\frac{2}{21}.


Вычислив P(C_{1}) , P(C_{2}) и P(C_{3}) , найдем искомую вероятность P(C) по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

P(C)=P(C_{1})+P(C_{2})+P(C_{3})=\frac{2}{35}+\frac{1}{7}+\frac{2}{21}=\frac{31}{105}\approx 0,2952.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: