Решение задач на уравнение касательной прямой и нормальной плоскости. Практикум по математическому анализу. Урок 42

Решение задач на уравнение касательной прямой и нормальной плоскости. Практикум по математическому анализу. Урок 42

Если x=x(t),y=y(t),z=z(t) — параметрические уравнения кривой и M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) - точка этой кривой, то касательная прямая к этой кривой в точке M_{0} определяется уравнениями
\displaystyle \frac{x-x_{0}}{\dot{x_{0}}}=\frac{y-y_{0}}{\dot{y_{0}}}=\frac{z-z_{0}}{\dot{z_{0}}}\; \; \; \; (1)
а нормальная плоскость (перпендикулярная к касательной) определяется уравнением
\displaystyle (x-x_{0})\dot{x_{0}}+(y-y_{0})\dot{y_{0}}+(z-z_{0})\dot{z_{0}}=0\; \; \; \; (2)
Пример 1. Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой:
1) \displaystyle x=t^{3},y=t^{2},z=t в точке, где t=-1;
2) \displaystyle x=y^{2},y=z^{2} в точке, где z=2.
Решение. 1) Определяем координаты точки касания: x=-1,y=1,z=-1 (подставляя t=-1 в данные уравнения). Находим производные от x,y и z по t и вычисляем их значения в точке касания: \displaystyle \dot{x}=3t^{2},\dot{y}=2t,\dot{z}=1;\dot{x}(-1)=3,\dot{y}(-1)=-2,\dot{z}(-1)=1.

Подставляя в общие уравнения (1) и (2) координаты точки касания и вычисленные значения производных, получим уравнения касательной прямой \displaystyle \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1} и уравнение нормальной плоскости \displaystyle 3(x+1)-2(y-1)+z+1=0 или \displaystyle 3x-2y+z+6=0.

2) Здесь кривая определена как пересечение двух поверхностей. Вначале преобразуем уравнения кривой к параметрическому виду. Полагая z=t, получим \displaystyle y=t^{2},x=t^{4}.
Далее определяем координаты точки касания: x=16,y=4,z=2 и значения производных \dot{x},\dot{y},\dot{z} в этой точке: \dot{x}=4t^{3},\dot{y}=2t,\dot{z}=1;\dot{x}(2)=32,\dot{y}(2)=4,\dot{z}(2)=1.
Подставляя в общие уравнения (1) и (2), получим уравнения касательной

\displaystyle \frac{x-16}{32}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-2}{1}


и уравнение нормальной плоскости
\displaystyle 32(x-16)+4(y-4)+z-2=0 или \displaystyle 32x+4y+z-530=0.

Пример 2. Найти уравнения касательной к винтовой линии \displaystyle y=a\cos t,y=a\sin t,z=bt в точке, где \displaystyle t=t_{0} и угол, образуемый ею с осью Oz.
Решение. Обозначив координаты точки касания (x_{0},y_{0},z_{0}) и пользуясь общими уравнениями (1), получим следующие уравнения касательной:

\displaystyle \frac{x-x_{0}}{-a\sin t_{0}}=\frac{y-y_{0}}{a\cos t_{0}}=\frac{z-z_{0}}{b}.


Отсюда направляющий косинус угла, образованного касательной с осью Oz:

\displaystyle \cos \gamma =\frac{\dot{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}\sin ^{2}t_{0}+a^{2}\cos ^{2}t_{0}+b^{2}}}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.


Этот результат показывает, что все касательные к винтовой линии образуют с осью Oz один и тот же угол.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

14 + тринадцать =