Теорема (формула) Тейлора. Практикум по математическому анализу. Урок 44

Многочисленные применения дифференциального исчисления в естествознании и технике основываются на теоремах Ролля, Лаграижа, Коши и Тейлора. В каждой из этих теорем утверждается существование некоторого среднего значения аргумента $x=c$, вследствие чего все они называются теоремами о среднем.
Теорема Тейлора. Функция $f(x)$, дифференцируемая $n+1$ раз в некотором интервале, содержащем точку $a$, может быть представлена в виде суммы многочлена $n$-й степени и остаточного члена $R_{n}$:
$\displaystyle f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+R_{n},\; \; \; \; \; (T)$
$R_{n}=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},$
где $c$ — некоторое среднее значение между $a$ и $x$,
$\displaystyle c=a+\theta (x-a),\; 0<\theta <1.$ Эта теорема является самой общей теоремой о среднем, из которой вытекают все остальные.
Формула Тейлора (Т) позволяет приближенно представить (аппроксимировать) произвольную функцию $f(x)$ в виде многочлена
$\displaystyle f(x)\approx f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\; \; \; (*)$
(называемого многочленом Тейлора) и вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность $R_{n}$, которая во многих случаях может быть сделана как угодно малой. Поэтому она является одной из важнейших формул математического анализа, которая широко применяется и как тонкий инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.
Частный, простейший вид формулы Тейлора при $a=0$ принято называть формулой Маклорена:
$\displaystyle f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+R_{n};\; R_{n}=\frac{f^{n+1}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}.\; \; \; \; (M)$
Она дает разложение функции по степеням самой независимой переменной.
Однако для многих функций эта простейшая формула Тейлора неприменима, ибо при $x=0$ многие функции или их производные не существуют (например: $\displaystyle \ln x;\sqrt{x};\textrm{ctg}\,x;\frac{1}{x}$).