Решение задач на формулу Тейлора. Практикум по математическому анализу. Урок 45

Решение задач на формулу Тейлора. Практикум по математическому анализу. Урок 45

Задача 1. Каждую из данных функций аппроксимировать многочленом n-й степени относительно x, оценить погрешность и установить, при каких значениях x она может быть сделана сколь угодно малой.
1) e^{x}; 2) \sin x, 3) \cos x.
Решение. Чтобы получить приближенное выражение данной функции f(x) в виде многочлена относительно независимой переменной x, следует написать для этой функции многочлен Маклорена. Затем для оценки той погрешности, которая возникает в результате замены данной функции ее многочленом Маклорена, следует найти остаточный член R_{n} формулы Маклорена, применяя его общую формулу к данной функции, и, наконец, для определения тех значений x, при которых погрешность может быть сделана сколь угодно малой, необходимо исследовать поведение остаточного члена при n \to +\infty и при различных значениях x. Погрешность может быть сделана сколь угодно малой только при тех значениях x, при которых \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{n}=0.
1) Вычислив значения данной функции и ее производных при x=0:
f(x)=e^{x};f'(x)=f''(x)=f'''(x)=...=f^{(k)}(x)=e^{x};
f(0)=f'(0)=f''(0)=...=f^{(k)}(0)=1
и пользуясь многочленом Маклорена (*),
\displaystyle f(x)\approx f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\; \; \; (*)
получим искомое приближенное выражение данной трансцендентной функции в виде многочлена n-й степени:

\displaystyle e^{x}\approx 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}.\; \; \; \; (1)


Погрешность этого приближенного равенства определяется остаточным членом формулы Маклорена. Для функции e^{x}
получим

\displaystyle R_{n}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\Theta x},0<\Theta <1.

Очевидно, что величина погрешности R_{n} зависит как от степени n аппроксимирующего многочлена, так и от значений переменной x. При неограниченном возрастании n и при любом значении x величина \displaystyle \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} является бесконечно малой, что было установлено в примере 3 (урок 13), а величина e^{\Theta x} является ограниченной. Поэтому при любом значении x и при n \to +\infty остаточный член в разложении функции e^{x} неограниченно убывает, стремясь к нулю:

\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{n}=\underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\,\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\Theta x}=0\cdot \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\,e^{\Theta x}=0.


Из этого следует, что при любом значении x можно аппроксимировать трансцендентную функцию e^{x} ее многочленом Маклорена с любой желаемой точностью и что последовательное повышение степени аппроксимирующего многочлена дает и последовательное повышение точности аппроксимации.
Полагая n=1,2,3, получим приближенные формулы
e^{x}\approx 1+x,
\displaystyle e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2},
\displaystyle e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6},
которые расположены в порядке возрастающей точности.
2) Вычисляем значения функции \sin x и ее производных при x=0:
\displaystyle f(x)=\sin x,\: f(0)=0,
\displaystyle f'(x)=\cos x=\sin \left ( x+\frac{\pi }{2} \right ),\: f'(0)=1,
\displaystyle f''(x)=-\sin x=\sin \left ( x+2\frac{\pi }{2} \right ),\: f''(0)=0,
\displaystyle f'''(x)=-\cos x=\sin \left ( x+3\frac{\pi }{2} \right ),\: f'''(0)=-1,
.......................................
\displaystyle f^{k}(x)=\sin \left ( x+k\frac{\pi }{2} \right ),\: f'''(0)=-1.
Здесь при x=0 все производные четного порядка равны нулю. Поэтому аппроксимирующий эту функцию многочлен Маклорена будет содержать только нечетные степени x:

\displaystyle \sin x\approx x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...\pm \frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}\; \; \; (2)


(x — радианная мера угла).
Это приближенное равенство отчетливо выражает нечетность функции \sin x, т. е. что \sin (-x)=-\sin x.
Погрешность этого приближенного равенства определим по общей формуле остаточного члена R_{n} формулы Маклорена.
Для функции \sin x погрешность
\displaystyle R_{2m}=\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\sin \left [ \Theta x+(2m+1)\frac{\pi }{2} \right ],\: 0<\Theta <1.
R_{2m} соответствует многочлену Маклорена 2m-й степени, который для функции \sin x тождественен многочлену (2m-1)-й степени.
Используя очевидное неравенство \left | \sin \alpha \right |\leq 1, избавимся от неизвестной величины \Theta и получим простое выражение для оценки погрешности, возникающей при замене функции \sin x многочленом (2)

\displaystyle \left | R_{2m} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{2m+1}}{(2m+1)!}.


Как было доказано в задаче 40 при n \to +\infty и при любом значении x величина \displaystyle \frac{x^{n}}{n!} стремится к нулю. Вследствие этого при m \to +\infty и остаточный член R_{2m} формулы Маклорена для функции \sin x также стремится к нулю при любом значении x, т. е. \underset{m \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{2m}=0.
Следовательно, при любом значении x можно заменить функцию \sin x ее многочленом Маклорена с любой сколь угодно малой погрешностью. При этом последовательное уменьшение погрешности достигается путем последовательного увеличения числа членов аппроксимирующего многочлена (2).
Полагая m=1,2,3, получим простейшие приближенные выражения для \sin x:
\displaystyle \sin x\approx x,\; \left | R_{1} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{3}}{3!},
\displaystyle \sin x\approx x-\frac{x^{3}}{6},\; \left | R_{3} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{5}}{5!},

\displaystyle \sin x\approx x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120},\; \left | R_{5} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{7}}{7!}.
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй.
3) При x=0 значения функции \cos x и ее производных будут:
f(x)=\cos x,\; f(0)=1,
\displaystyle f'(x)=-\sin x=\cos \left ( x+\frac{\pi }{2} \right ),\; f'(0)=0,
\displaystyle f''(x)=-\cos x=\cos \left ( x+2\frac{\pi }{2} \right ),\; f''(0)=-1,
\displaystyle f'''(x)=\sin x=\cos \left ( x+3\frac{\pi }{2} \right ),\; f'''(0)=0,
...............................
\displaystyle f^{k}(x)=\cos \left ( x+k\frac{\pi }{2} \right ),\; f^{k}(0)=\cos k\frac{\pi }{2}.
Здесь значения всех производных нечетного порядка равны нулю. Поэтому многочлен Маклорена, аппроксимирующий функцию \cos x, содержит только четные степени x:
\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...\pm \frac{x^{2m}}{(2m)!}\; \; \; \; (3)
Эта приближенная формула отчетливо выражает четность функции \cos x, т. е. что \cos (-x)=\cos x.
Погрешность этой приближенной формулы будет
\displaystyle R_{2m+1}=\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}\cos \left [ \Theta x+(2m+2)\frac{\pi }{2} \right ],\; 0<\Theta <1. Избавляясь от неизвестной \Theta, в силу неравенства \left | \cos \alpha \right |\leq 1, получим неравенство

\displaystyle \left | R_{2m+1} \right |\leq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}

которое позволяет легко оценить погрешность при замене функции \cos x многочленом (3). Исследуя поведение погрешности R_{2m+1} при различных значениях x и при m \to +\infty, посредством таких же рассуждений, как и в двух предыдущих задачах, приходим к выводу: При любом значении x и при m \to +\infty остаточный член R_{2m+1} формулы Маклорена для функции \cos x стремится к нулю, т. е. \underset{m \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{2m+1}=0. Из этого следует, что при любом значении x функцию \cos x можно аппроксимировать ее многочленом Маклорена с любой заданной точностью, причем последовательное повышение точности аппроксимации достигается путем простого увеличения числа членов аппроксимирующего многочлена (3), Полагая m=1,2,3, получим простейшие приближенные формулы для \cos x: \displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2},\; \left | R_{2} \right |\leq \frac{x^{4}}{4!},
\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24},\; \left | R_{4} \right |\leq \frac{x^{6}}{6!},
\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720},\; \left | R_{6} \right |\leq \frac{x^{8}}{8!},
которые расположены в порядке повышающейся точности.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

15 − девять =