Решение задач на формулу Тейлора. Практикум по математическому анализу. Урок 45

Задача 1. Каждую из данных функций аппроксимировать многочленом $n$-й степени относительно $x$, оценить погрешность и установить, при каких значениях $x$ она может быть сделана сколь угодно малой.
1) $e^{x}$; 2) $\sin x$, 3) $\cos x$.
Решение. Чтобы получить приближенное выражение данной функции $f(x)$ в виде многочлена относительно независимой переменной $x$, следует написать для этой функции многочлен Маклорена. Затем для оценки той погрешности, которая возникает в результате замены данной функции ее многочленом Маклорена, следует найти остаточный член $R_{n}$ формулы Маклорена, применяя его общую формулу к данной функции, и, наконец, для определения тех значений $x$, при которых погрешность может быть сделана сколь угодно малой, необходимо исследовать поведение остаточного члена при $n \to +\infty$ и при различных значениях $x$. Погрешность может быть сделана сколь угодно малой только при тех значениях $x$, при которых $\underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{n}=0$.
1) Вычислив значения данной функции и ее производных при $x=0$:
$f(x)=e^{x};f'(x)=f''(x)=f'''(x)=...=f^{(k)}(x)=e^{x};$
$f(0)=f'(0)=f''(0)=...=f^{(k)}(0)=1$
и пользуясь многочленом Маклорена (*),
$\displaystyle f(x)\approx f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\; \; \; (*)$
получим искомое приближенное выражение данной трансцендентной функции в виде многочлена $n$-й степени:

$$\displaystyle e^{x}\approx 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}.\; \; \; \; (1)$$

Погрешность этого приближенного равенства определяется остаточным членом формулы Маклорена. Для функции $e^{x}$
получим

$$\displaystyle R_{n}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\Theta x},0<\Theta <1.$$

Очевидно, что величина погрешности $R_{n}$ зависит как от степени $n$ аппроксимирующего многочлена, так и от значений переменной $x$. При неограниченном возрастании $n$ и при любом значении $x$ величина $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ является бесконечно малой, что было установлено в примере 3 (урок 13), а величина $e^{\Theta x}$ является ограниченной. Поэтому при любом значении $x$ и при $n \to +\infty$ остаточный член в разложении функции $e^{x}$ неограниченно убывает, стремясь к нулю:

$$\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{n}=\underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\,\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\Theta x}=0\cdot \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\,e^{\Theta x}=0.$$

Из этого следует, что при любом значении $x$ можно аппроксимировать трансцендентную функцию $e^{x}$ ее многочленом Маклорена с любой желаемой точностью и что последовательное повышение степени аппроксимирующего многочлена дает и последовательное повышение точности аппроксимации.
Полагая $n=1,2,3$, получим приближенные формулы
$e^{x}\approx 1+x,$
$\displaystyle e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2},$
$\displaystyle e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6},$
которые расположены в порядке возрастающей точности.
2) Вычисляем значения функции $\sin x$ и ее производных при $x=0$:
$\displaystyle f(x)=\sin x,\: f(0)=0,$
$\displaystyle f'(x)=\cos x=\sin \left ( x+\frac{\pi }{2} \right ),\: f'(0)=1,$
$\displaystyle f''(x)=-\sin x=\sin \left ( x+2\frac{\pi }{2} \right ),\: f''(0)=0,$
$\displaystyle f'''(x)=-\cos x=\sin \left ( x+3\frac{\pi }{2} \right ),\: f'''(0)=-1,$
.......................................
$\displaystyle f^{k}(x)=\sin \left ( x+k\frac{\pi }{2} \right ),\: f'''(0)=-1.$
Здесь при $x=0$ все производные четного порядка равны нулю. Поэтому аппроксимирующий эту функцию многочлен Маклорена будет содержать только нечетные степени $x$:

$$\displaystyle \sin x\approx x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...\pm \frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}\; \; \; (2)$$

($x$ — радианная мера угла).
Это приближенное равенство отчетливо выражает нечетность функции $\sin x$, т. е. что $\sin (-x)=-\sin x$.
Погрешность этого приближенного равенства определим по общей формуле остаточного члена $R_{n}$ формулы Маклорена.
Для функции $\sin x$ погрешность
$\displaystyle R_{2m}=\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\sin \left [ \Theta x+(2m+1)\frac{\pi }{2} \right ],\: 0<\Theta <1.$
$R_{2m}$ соответствует многочлену Маклорена $2m$-й степени, который для функции $\sin x$ тождественен многочлену $(2m-1)$-й степени.
Используя очевидное неравенство $\left | \sin \alpha \right |\leq 1$, избавимся от неизвестной величины $\Theta$ и получим простое выражение для оценки погрешности, возникающей при замене функции $\sin x$ многочленом (2)

$$\displaystyle \left | R_{2m} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{2m+1}}{(2m+1)!}.$$

Как было доказано в задаче 40 при $n \to +\infty$ и при любом значении $x$ величина $\displaystyle \frac{x^{n}}{n!}$ стремится к нулю. Вследствие этого при $m \to +\infty$ и остаточный член $R_{2m}$ формулы Маклорена для функции $\sin x$ также стремится к нулю при любом значении $x$, т. е. $\underset{m \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{2m}=0.$
Следовательно, при любом значении $x$ можно заменить функцию $\sin x$ ее многочленом Маклорена с любой сколь угодно малой погрешностью. При этом последовательное уменьшение погрешности достигается путем последовательного увеличения числа членов аппроксимирующего многочлена (2).
Полагая $m=1,2,3$, получим простейшие приближенные выражения для $\sin x$:
$\displaystyle \sin x\approx x,\; \left | R_{1} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{3}}{3!},$
$\displaystyle \sin x\approx x-\frac{x^{3}}{6},\; \left | R_{3} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{5}}{5!},$

$\displaystyle \sin x\approx x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120},\; \left | R_{5} \right |\leq \frac{\left | x \right |^{7}}{7!}.$
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй.
3) При $x=0$ значения функции $\cos x$ и ее производных будут:
$f(x)=\cos x,\; f(0)=1,$
$\displaystyle f'(x)=-\sin x=\cos \left ( x+\frac{\pi }{2} \right ),\; f'(0)=0,$
$\displaystyle f''(x)=-\cos x=\cos \left ( x+2\frac{\pi }{2} \right ),\; f''(0)=-1,$
$\displaystyle f'''(x)=\sin x=\cos \left ( x+3\frac{\pi }{2} \right ),\; f'''(0)=0,$
...............................
$\displaystyle f^{k}(x)=\cos \left ( x+k\frac{\pi }{2} \right ),\; f^{k}(0)=\cos k\frac{\pi }{2}.$
Здесь значения всех производных нечетного порядка равны нулю. Поэтому многочлен Маклорена, аппроксимирующий функцию $\cos x$, содержит только четные степени $x$:
$\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...\pm \frac{x^{2m}}{(2m)!}\; \; \; \; (3)$
Эта приближенная формула отчетливо выражает четность функции $\cos x$, т. е. что $\cos (-x)=\cos x$.
Погрешность этой приближенной формулы будет
$\displaystyle R_{2m+1}=\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}\cos \left [ \Theta x+(2m+2)\frac{\pi }{2} \right ],\; 0<\Theta <1.$ Избавляясь от неизвестной $\Theta$, в силу неравенства $\left | \cos \alpha \right |\leq 1$, получим неравенство

$$\displaystyle \left | R_{2m+1} \right |\leq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}$$

которое позволяет легко оценить погрешность при замене функции $\cos x$ многочленом (3). Исследуя поведение погрешности $R_{2m+1}$ при различных значениях $x$ и при $m \to +\infty$, посредством таких же рассуждений, как и в двух предыдущих задачах, приходим к выводу: При любом значении $x$ и при $m \to +\infty$ остаточный член $R_{2m+1}$ формулы Маклорена для функции $\cos x$ стремится к нулю, т. е. $\underset{m \to +\infty }{\textrm{lim}}\, R_{2m+1}=0$. Из этого следует, что при любом значении $x$ функцию $\cos x$ можно аппроксимировать ее многочленом Маклорена с любой заданной точностью, причем последовательное повышение точности аппроксимации достигается путем простого увеличения числа членов аппроксимирующего многочлена (3), Полагая $m=1,2,3$, получим простейшие приближенные формулы для $\cos x$: $\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2},\; \left | R_{2} \right |\leq \frac{x^{4}}{4!},$
$\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24},\; \left | R_{4} \right |\leq \frac{x^{6}}{6!},$
$\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720},\; \left | R_{6} \right |\leq \frac{x^{8}}{8!},$
которые расположены в порядке повышающейся точности.