Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Видеоурок №28

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №28

Формулы выражения тангенса и котангенса половинного аргумента через синус и косинус целого аргумента

$\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$
$\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2};$
$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2};$
$\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\beta -\alpha }{2};$
$\displaystyle \textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta };$
$\displaystyle \textrm{tg}\alpha -\textrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta };$
$\displaystyle \textrm{ctg}\alpha +\textrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta };$
$\displaystyle \textrm{ctg}\alpha -\textrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\beta-\alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Доказать тождество:
1) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}2\alpha }{\textrm{tg}4\alpha-\textrm{tg}2\alpha}=\cos 4\alpha ;$
2) $\displaystyle \textrm{ctg}6\alpha-\textrm{ctg}4\alpha+\textrm{tg}2\alpha=-\textrm{ctg}6\alpha\, \textrm{ctg}4\alpha\, \textrm{tg}2\alpha;$
3) $\displaystyle \textrm{tg}3\alpha-\textrm{tg}2\alpha-\textrm{tg}\alpha=\textrm{tg}\alpha\, \textrm{tg}2\alpha\, \textrm{tg}3\alpha;$
4) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right )+\textrm{tg}\left ( \alpha -\frac{\pi }{4} \right )}{\textrm{ctg}\left ( \alpha +\frac{\pi }{4} \right )+\textrm{ctg}\left ( \frac{\pi }{4}-\alpha \right )}=\sin 2\alpha ;$
5) $\displaystyle \frac{1}{\textrm{tg}3\alpha +\textrm{tg}\alpha }-\frac{1}{\textrm{ctg}3\alpha+\textrm{ctg}\alpha}=\textrm{ctg}4\alpha;$
6) $\displaystyle \textrm{tg}30^{\circ}+\textrm{tg}40^{\circ}+\textrm{tg}50^{\circ}+\textrm{tg}60^{\circ}=\frac{8\cos 20^{\circ}}{\sqrt{3}};$
2. Доказать тождество:
1) $\displaystyle \sin ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta =\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta );$
2) $\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta =\sin (\alpha +\beta )\sin (\beta -\alpha);$
3) $\displaystyle \cos ^{2}(\alpha-\beta ) -\cos ^{2}(\alpha +\beta) =\sin 2\alpha \sin 2\beta ;$
4) $\displaystyle \textrm{tg}^{2}\alpha -\textrm{tg}^{2}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )}{\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta };$
5) $\displaystyle 4\cos ^{2}\alpha -3=4\sin \left ( \frac{\pi }{6}+\alpha \right )\sin \left ( \frac{\pi }{6}-\alpha \right );$
6) $\displaystyle 3-\textrm{tg}^{2}\alpha =\frac{4\sin (60^{\circ}+\alpha )\sin (60^{\circ}-\alpha )}{\cos ^{2}\alpha }.$
3. Доказать тождество:
1) $\displaystyle \frac{\sin 2\alpha -\sin 40^{\circ}}{\cos 2\alpha +\cos 40^{\circ}}=\textrm{tg}(\alpha -20^{\circ});$
2) $\displaystyle \frac{\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }=\textrm{tg}\frac{\beta -\alpha }{2};$
3) $\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin 3\alpha }{\cos \alpha +\cos 3\alpha }=\textrm{tg}2\alpha ;$
4) $\displaystyle \frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{\cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos (\alpha -\beta )}=\textrm{tg}\alpha ;$
5) $\displaystyle \frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=\textrm{tg}\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right );$
6) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}(\alpha +15^{\circ})+\textrm{tg}(\alpha -15^{\circ})}{\textrm{tg}(\alpha +15^{\circ})-\textrm{tg}(\alpha -15^{\circ})}=2\sin \alpha ;$
7) $\displaystyle \frac{\cos \alpha -\cos 2\alpha -\cos 4\alpha +\cos 5\alpha }{\sin \alpha -\sin 2\alpha -\sin 4\alpha +\sin 5\alpha }=\textrm{ctg}3\alpha .$